Espace d'équilibre et pseudo linéarisation des systèmes non linéaires

Dec 12, 2023

Rapports scientifiques volume 12, Numéro d'article : 21147 (2022) Citer cet article

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Cet article tente d'étendre le concept de point d'équilibre à ce qu'on appelle l'espace d'équilibre, qui peut s'adapter à un système dans lequel il existe un nombre infini de points d'équilibre. Dans le contexte de la méthode de linéarisation de Lyapunov étendue à l'espace d'équilibre, cet article propose une pseudo linéarisation, à partir de laquelle on peut dériver une représentation linéaire pour un système non linéaire. L'état d'équilibre de cette pseudo-linéarisation et sa stabilité sont les mêmes que ceux du système non linéaire d'origine. Comme exemple d'applicabilité, la pseudo-linéarisation proposée est appliquée pour dériver un modèle à temps discret pour un système de gyroscope à moment de contrôle à partir d'un modèle à temps continu non linéaire. Les résultats de la simulation montrent que le modèle à temps discret dérivé à l'aide de la pseudo linéarisation proposée donne des réponses plus proches de celles du modèle à temps continu que le modèle à temps discret dérivé de la méthode bien connue des différences directes et de la méthode de représentation pseudo linéaire conventionnelle, même avec un grand intervalle d'échantillonnage.

La plupart des systèmes d'ingénierie basés sur des phénomènes naturels sont non linéaires. L'analyse de la stabilité et la conception de contrôleurs pour les systèmes non linéaires sont des questions importantes dans la théorie du contrôle des systèmes1. Cependant, malgré les recherches pionnières dans ce domaine, il n'existe pas de méthode universelle pour concevoir des systèmes de contrôle non linéaires2. Pour étudier la stabilité des systèmes non linéaires, la théorie de Lyapunov qui comprend à la fois la méthode directe et la méthode de linéarisation (ou méthode indirecte) est l'une des approches les plus générales et les plus utiles. La méthode directe est utilisée pour étudier la stabilité globale des systèmes non linéaires à l'aide de la fonction de Lyapunov ; cependant, un inconvénient de ceci est qu'il n'y a pas de moyen général de déduire la fonction de Lyapunov pour un système spécifique. En revanche, la méthode de linéarisation étudie la stabilité locale autour d'un point d'équilibre basé sur son approximation linéaire, et cela est devenu un outil important pour concevoir des contrôleurs pour les systèmes non linéaires en utilisant les théories de contrôle linéaire bien connues3,4,5. Ces dernières années, l'opérateur de Koopman et l'analyse de contraction sont devenus deux des approches populaires pour analyser la stabilité des équilibres hyperboliques uniques de systèmes non linéaires globalement et exactement au moyen de la théorie des systèmes linéaires6,7.

Dans des systèmes tels qu'un robot se déplaçant sur un plan horizontal sans frottement8,9 ou un pendule non sous l'influence de la gravité10,11, dans lesquels la position/l'angle et la vitesse sont sélectionnés comme variables d'état et la vitesse initiale est fixée à zéro, pour une position initiale arbitraire, le système reste dans l'état initial pour toutes les instances de temps futures. Plus précisément, ces systèmes ont un nombre infini de points d'équilibre, qui sont indépendants de la position. Un tel ensemble d'équilibres non isolés est connu sous le nom de variété d'équilibres12,13. Il convient de noter que ce concept de variété d'équilibres est différent de la variété centrale d'un équilibre isolé14,15. La méthode de linéarisation de Lyapunov est un outil utile pour étudier la stabilité d'un seul point d'équilibre. Cependant, pour les systèmes qui ont un nombre infini de points d'équilibre, il n'est pas réaliste d'étudier tous les points d'équilibre individuellement. De plus, les exemples mentionnés ci-dessus sont connus sous le nom de systèmes non holonomiques, et la linéarisation peut modifier la contrôlabilité du système non linéaire d'origine16,17,18,19. Par conséquent, même si le système non linéaire est contrôlable, sa linéarisation devient incontrôlable et est inaccessible pour la conception du contrôleur. Cet article tente d'étendre le concept de points d'équilibre à ce qu'on appelle l'espace d'équilibre, qui peut s'adapter à des systèmes qui ont un nombre infini de points d'équilibre. Dans le contexte de la méthode de linéarisation de Lyapunov, cet article propose la pseudo linéarisation, par laquelle nous pouvons dériver un système non linéaire présenté par la forme linéaire20,21,22,23. Les principales contributions de cet article sont les suivantes :

Proposer une définition de l'espace d'équilibre, qui est une extension du concept de point d'équilibre ;

Proposer une pseudo linéarisation basée sur l'espace d'équilibre, et montrer que l'état d'équilibre de cette pseudo linéarisation et sa stabilité sont les mêmes que ceux du système non linéaire d'origine ;

La pseudo-linéarisation proposée est appliquée pour dériver un modèle à temps discret pour un système de gyroscope à moment de contrôle (CMG), une application de l'effet gyroscopique, qui est souvent utilisé comme actionneur de contrôle d'attitude pour les satellites artificiels et les engins spatiaux24,25,26,27. Le reste de cet article est organisé comme suit : la section "Point d'équilibre et linéarisation de Lyapunov" résume la définition des points d'équilibre et la méthode de linéarisation de Lyapunov. La définition de l'espace d'équilibre, la pseudo linéarisation correspondante et leurs propriétés sont présentées dans la section "Espace d'équilibre et pseudo linéarisation". Une application de la pseudo-linéarisation dans la dérivation d'un modèle en temps discret du système CMG est présentée dans la section "Modèle en temps discret du système CMG basé sur la pseudo-linéarisation". Les résultats de simulation pour le système CMG sont présentés dans la section "Simulations", et enfin, les conclusions sont données dans la section "Conclusion".

Premièrement, nous considérons un système décrit par l'équation d'espace d'état suivante

où \({\mathbf{x}}\) est un état du système, qui appartient à un espace d'états \({\mathbf{X}} \subset R^{n}\), le temps t est une variable indépendante, et \({\mathbf{f}} :{\mathbf{X}} \rightarrow R^{n}\) est une fonction système continuellement différentiable.

Supposons que \({\mathbf{x}}_{ep} \in {\mathbf{X}}\) est un point d'équilibre de (1), c'est-à-dire,

Une linéarisation de (1) autour du point d'équilibre \({\mathbf{x}}_{ep}\) est donnée par

où \(D{\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}}_{ep} \right) \) est une matrice jacobienne de \({\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}} \right) \) à \({\mathbf{x}}_{ep}\), c'est-à-dire,

Il convient de noter que

Ainsi, si \({\mathbf{x}}_{ep}\) est un point d'équilibre du système décrit par Eq. (1), c'est aussi un point d'équilibre du système linéarisé décrit par l'Eq. (3). De plus, nous avons

Suivant le théorème indirect de Lyapunov, la stabilité de \({\mathbf{x}}_{ep}\) dans le système original et le système linéarisé sont identiques localement4,5.

Le théorème indirect de Lyapunov mentionné ci-dessus est un outil utile pour étudier la stabilité d'un seul point d'équilibre. Cependant, avec un système contenant un nombre infini de points d'équilibre, étudier tous les points d'équilibre individuellement est irréaliste. Dans cette section, le concept de point d'équilibre et la linéarisation correspondante présentés dans la section "Point d'équilibre et linéarisation de Lyapunov" sont étendus pour développer un concept d'espace d'équilibre et une pseudo linéarisation.

(Espace d'équilibre) Pour un système décrit par l'Eq. (1), il existe un sous-espace \({\mathbf{X}}_{es}\) de l'espace d'états \({\mathbf{X}}\) (\({\mathbf{X}}_{es} \subset {\mathbf{X}}\)), satisfaisant

où

et \({\mathbf{I}}\) est une matrice d'identité \(n \times n\), \({{\mathbf{T}}} \in {R^{n \times n}}\) est une matrice diagonale, dont les éléments sont un ou zéro, et a un rang de m (\(m \le n\)), et \(\mathbf{\chi }_{es} \in {\mathbf{X}}\) représente les valeurs d'état, auquel cas \({\mathbf{X}}_{es}\) et \({\mathbf{x}}_{es}\) sont respectivement l'espace d'équilibre et l'état d'équilibre de (1). Le paramètre m est appelé un ordre de l'espace d'équilibre \({\mathbf{x}}_{es}\). La variété dimensionnelle \(\left( {n - m} \right) \) correspondant à l'élément non nul de la matrice \(\left( {\mathbf{I}} - {\mathbf{T}} \right) \) est appelée variété d'équilibres12.

Il convient de noter que s'il existe un \({\mathbf{x}}_{es}\) tel que \({\mathbf{f}}\left( {{\mathbf{x}}_{es}} \right) = {\mathbf{0}}\), alors \({\mathbf{x}}_{es}\) peut toujours être exprimé sous la forme de (8), qui est composé d'états déterminés\( ({\mathbf{ I}} - {\mathbf{T}} ){{\mathbf{\chi}}_{es}}\) et états indéterminés \(\mathbf{Tx}(t)\). La matrice \({\mathbf{T}}\) et le vecteur \({\mathbf{\chi }}_{es}\) sont uniques.

L'espace d'équilibre du système suivant

est donné par

et est d'ordre \(m=1\). La variété d'équilibres de ce système est la droite \(x_1=2\).

Pour un point arbitraire \({\mathbf{x}}_{ep} \in {\mathbf{X}}_{es}\), \({\mathbf{x}}_{ep}\) est un point d'équilibre de (1). L'espace d'équilibre \({\mathbf{X}}_{es}\) est composé d'un nombre infini de points d'équilibre.

Lorsque l'ordre de l'espace d'équilibre est nul (\(m=0\)), c'est-à-dire \({\mathbf{T}}={\mathbf{0}}\), l'espace d'équilibre est un ensemble de points d'équilibre classiquement isolés \({\mathbf{\chi }}_{es}\).

Lorsque l'ordre de l'espace d'équilibre \(m=n\), c'est-à-dire \({\mathbf{T}}={\mathbf{I}}\), l'espace d'équilibre \({\mathbf{X}}_{es}\) et l'espace d'états \({\mathbf{X}}\) sont identiques. En d'autres termes, le système (1) n'est pas dynamique, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un système statique.

Pour un système linéaire \(\dot{{\mathbf{x}}} = {\mathbf{Ax}}\), l'ordre de l'espace d'équilibre m est identique à la dimension de l'espace nul de la matrice du système A.

Dans le contexte du point d'équilibre présenté dans la section "Point d'équilibre et linéarisation de Lyapunov", nous pouvons déduire les résultats suivants pour l'espace d'équilibre.

En linéarisant le système (1) sur \({\mathbf{x}}_{es}\) , nous pouvons dériver le système suivant

Il convient de noter que puisque l'état d'équilibre \({\mathbf{x}}_{es}\) est composé d'une partie de l'état \({\mathbf{x}}\), bien que le système donné par l'Eq. (11) est représenté par une forme linéaire, c'est un système non linéaire, et c'est ce qu'on appelle une représentation pseudo-linéaire. Alors que la forme pseudo-linéaire conventionnelle représente généralement la fonction non linéaire d'origine \({\mathbf{f}}\) sous une forme linéaire20,21,22,23, c'est-à-dire,

le système pseudo-linéaire (11) est une approximation du système original. En présentant un système non linéaire sous la forme pseudo-linéaire, les théories du système linéaire peuvent être appliquées pour analyser ou concevoir des contrôleurs pour le système non linéaire20,23,28. De plus, il existe certaines propriétés caractéristiques, qui sont des extensions de celle du point d'équilibre, comme détaillé ci-dessous.

Considérons un système identique à celui utilisé dans l'exemple 1. La représentation pseudo-linéaire conventionnelle de ce système est donnée par l'Eq. (12), où \({\mathbf{x}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}\end{array}} \right] ^T}\), \({{\mathbf{b}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\end{array}} \right] ^T }\), et

Il convient de noter que la matrice \({\mathbf{A}}({\mathbf{x}})\) peut prendre une forme différente, c'est-à-dire,

Le système approximé pseudo-linéaire autour de l'état d'équilibre \({\mathbf{x}}_{es}\) tel que donné par (10) peut être écrit de manière unique sous la forme de (11), où

Si \({\mathbf{x}}_{es}\) est un état d'équilibre du système représenté par Eq. (1), alors c'est aussi un état d'équilibre du système pseudo-linéarisé tel que représenté par l'Eq. (11).

À partir de la définition de l'espace d'équilibre, et après avoir remplacé \({\mathbf{x}}_{es}\) par \({\mathbf{f}}_{es}\) donné par l'équation. (11), nous avons

Ainsi, la preuve du théorème 1 est fournie. \(\carré \)

Les stabilités de \({\mathbf{x}}_{es}\) dans le système original (1) et le système pseudo-linéarisé (11) sont identiques localement.

Avant de démontrer le théorème 2, montrons le résultat du lemme suivant.

Si \({\mathbf{x}}_{es} \in {\mathbf{X}}_{es}\), alors la matrice jacobienne de \({\mathbf{f}}\) à \({\mathbf{x}}_{es}\) et la matrice \({\mathbf{T}}\) dans la définition 1 sont orthogonales, c'est-à-dire,

Pour \({\mathbf{x}}_{es} \in {\mathbf{X}}_{es}\), nous avons

En notant que \({\mathbf{x}}_{es}\) est composé de \({\mathbf{x}}\), on peut considérer \({\mathbf{f}}\left({{\mathbf{x}}_{es}}\right)\) comme une fonction de \({\mathbf{x}}\). En différenciant les deux côtés de l'équation. (18) par rapport à \({\mathbf{x}}\) déduit ce qui suit :

En utilisant la règle de chaîne de la fonction composite, Eq. (19) peut s'écrire

De la définition de l'espace d'équilibre donnée par l'Eq. (8), nous avons

En notant que

en remplaçant les équations. (21) et (22) dans l'équation. (20) permet la dérivation de l'Eq. (17). \(\carré \)

Alors ce qui suit donne la preuve du théorème 2.

En différenciant la fonction \({{\mathbf{f}}_{es}}\) donnée par Eq. (11) par rapport à \({\mathbf{x}}\), on a

En utilisant le résultat du Lemme 1 et de l'Eq. (21), on peut en déduire que

En remplaçant l'éq. (24) dans l'éq. (23) donne

En remplaçant \({\mathbf{x}}_{es}\) par \({\mathbf{x}}\) dans l'équation. (25), on peut déduire

En notant que

on peut réécrire l'Eq. (26) comme

Un point arbitraire \({\mathbf{x}}_{ep} \in {\mathbf{X}}_{es}\) est un point d'équilibre du système (1), qui satisfait l'équation. (28), c'est-à-dire

Ainsi, en suivant la méthode indirecte de Lyapunov présentée dans la section "Point d'équilibre et linéarisation de Lyapunov", les stabilités de \({\mathbf{x}}_{es}\) dans le système original (1) et le système pseudo linéarisé (11) sont localement identiques. \(\carré \)

Les résultats pour le point d'équilibre et l'état d'équilibre présentés dans les sections « Point d'équilibre et linéarisation de Lyapunov » et « Espace d'équilibre et pseudo-linéarisation » sont également disponibles pour le système avec une entrée de commande, c'est-à-dire,

Le CMG est considéré comme un exemple pour appliquer le point d'équilibre proposé et la pseudo linéarisation. Le CMG est une application de l'effet gyroscopique et est souvent utilisé comme actionneur de contrôle d'attitude pour les satellites artificiels et les engins spatiaux. Il est principalement composé de quatre corps rigides, comme illustré à la Fig. 1. Le rotor 1 (volant) tourne à grande vitesse pour accumuler le moment cinétique, et en inclinant les cardans 2, 3 et 4, la force de rotation du rotor 1 peut être transmise à tout autre axe de rotation. Dans cette étude, pour décrire la formule plus explicitement et sans perte de généralité, nous considérons le modèle CMG d'entraînement à 3 axes utilisant le cardan 3, qui est fixe.

Structure du système CMG.

Soit \({J_{ix}},\,\,{J_{iy}},\,\,{J_{iz}}\) les moments d'inertie du corps rigide i par rapport aux axes fixes x, y et z, respectivement ; soit \(q_i\) et \(\omega _i\) l'angle relatif et la vitesse angulaire relative du corps rigide i par rapport au corps rigide \(i+1\) (\(i = 1,\,\,2,\,\,3\)), respectivement ; \({q_4}\) et \(\omega _4\) sont respectivement l'angle de rotation relatif et la vitesse angulaire du cardan 4 par rapport au système de coordonnées inertiel ; et \(\tau _1\) et \(\tau _2\) sont les couples externes utilisés pour contrôler la rotation du rotor 1 et du cardan 2, respectivement.

Un modèle d'espace d'états du système CMG peut être dérivé sous la forme de l'équation. (30) en utilisant l'équation du mouvement d'Euler–Lagrange29, où la fonction du système est donnée par

Dans l'éq. (31), \({\mathbf{x}} = {\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{q_2}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{{q_4}}&{{\omega_1}}&{{\omega_2}}\end{array}}&{{\omega_4}}\end{array}}\right ] ^T}\) et \( {{\mathbf{u}}} = {\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{\tau_1}}&{{\tau_2}}\end{array}} \right]^T}\) sont respectivement l'état du système et l'entrée du système. Il est à noter que l'angle de rotation \(q_1\) n'apparaît pas dans l'équation de mouvement du CMG ; ainsi, il n'est pas considéré dans les variables d'état. De plus, \(q_1\) peut être calculé en intégrant la vitesse angulaire \(\omega _1\). Les fonctions \({f_i}\left({\mathbf{x}}\right)\) et \({g_i}\left({\mathbf{x}}\right)\) sont données comme suit :

où

Dans l'équation ci-dessus, \(S_{\theta }^{i}\) et \(C_{\theta }^{i}\) sont définis par

Lorsque l'entrée système est zéro, c'est-à-dire \({{\mathbf{u}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\tau _1}}&{{\tau _2}}\end{array}} \right] ^T} = {\mathbf{0}}\), suivant l'équation. (31), nous avons

Il convient de noter que la substitution de \({\omega _2} = {\omega _4} = 0\) dans Eqs. (32), (34) et (36) donnent

quelles que soient les valeurs de \(q_2\), \(q_4\) et \(\omega _1\). L'espace d'équilibre du système CMG peut être écrit comme

où

L'équation (47) peut aussi s'écrire

La pseudo linéarisation du système CMG autour de l'état d'équilibre ci-dessus est donnée par

Le système décrit par l'Eq. (51) a la forme d'un système linéaire, c'est-à-dire

qui a un modèle en temps discret exact comme détaillé dans30

où T est un intervalle d'échantillonnage et \(\delta \) est un opérateur delta défini par

Un modèle en temps discret du système (30) dérivé par la méthode de différence directe est donné par

Des simulations ont été effectuées à l'aide de MATLAB/Simulink pour comparer les réponses des modèles à temps discret pour le système CMG dérivés par la méthode de discrétisation linéarisée conventionnelle (CL), la méthode de différence directe (FD), la méthode de représentation pseudo-linéaire conventionnelle (CPL) et la méthode de pseudo-linéarisation basée sur l'espace d'équilibre proposée (ESPL) avec la réponse originale non linéaire en temps continu (CT). Les moments d'inertie du CMG utilisés dans les simulations sont donnés par le Tableau 124.

Dans toutes les simulations, la valeur initiale du système était fixée à zéro, c'est-à-dire \({{\mathbf{x}}_0} = {\mathbf{0}}\), et le temps de simulation était de 30 s. Le couple d'entrée, \(\tau _1\), utilisé pour faire tourner la roue intérieure, et celui, \(\tau _2\), utilisé pour incliner le cardan 2 pour produire l'effet gyroscopique, sont donnés par les signaux d'impulsion suivants

où \(\tau _1\) est une fonction échelon unitaire, et \(A_1\) et \(A_2\) sont des amplitudes de \(\tau _1\) et \(\tau _2\), respectivement. La forme d'onde des couples d'entrée est illustrée par la Fig. 2. Lorsque \(A_1\) est grand et \(A_2\) est petit, le CMG est fortement stable. En revanche, lorsque \(A_1\) est petit et \(A_2\) est grand, le CMG est faiblement stable. La précision d'un modèle à temps discret dépend en général de la valeur de l'intervalle d'échantillonnage T. Dans les simulations, nous avons étudié les réponses des modèles à temps discret avec différentes valeurs des amplitudes \(A_1\), \(A_2\) et la période d'échantillonnage T. Les paramètres sont résumés dans le tableau 2.

Forme d'onde des couples d'entrée.

La figure 3a montre les réponses des modèles à temps discret comparées à celle du modèle à temps continu pour \({A_1} = {A_2} = \)1,0N m et \(T = \) 0,0001 s. La figure 3b est un agrandissement de la figure 3a pour \(29 \le t \le 30\). Alors que les réponses pour \(q_2\), \(\omega _2\), \(q_4\) et \(\omega _4\) des modèles à temps discret FD et CPL avaient tendance à diverger des réponses à temps continu lorsque le temps t augmentait, le modèle à temps discret ESPL proposé a donné des réponses proches de celles du modèle CT. La réponse pour \(q_1\) des trois modèles à temps discret avait des vibrations à haute fréquence dont l'amplitude et la phase différaient essentiellement de celles du modèle CT. La figure 4 montre les réponses pour le système illustré à la figure 3, mais avec \({A_1} = \) 2,0N m. Dans ce cas, les états du CMG vibrent avec une fréquence plus élevée. Les réponses des modèles FD et CPL ont commencé à diverger plus tôt, tandis que l'ESPL a donné des réponses précises par rapport à celle du modèle CT. Les figures 5 et 6 montrent les réponses du système, où les amplitudes de couple \(A_1\) et \(A_2\) ont les mêmes valeurs que celles montrées dans les Figs. 3 et 4, respectivement, mais avec un intervalle d'échantillonnage de \(T = \)0,001 s, qui est 10 fois celui représenté sur les Fig. 3 et 4. Alors que le modèle ESPL à temps discret proposé a fourni des réponses exactement proches de celles du modèle CT à temps continu avec un grand intervalle d'échantillonnage, le FD et le CPL à temps discret n'ont pas conservé les caractéristiques et leurs réponses étaient significativement différentes de celles du modèle CT.

Réponses des modèles CT, FD, CPL et ESPL pour le cas 1.

Réponses des modèles CT, FD, CPL et ESPL pour le cas 2.

Réponses des modèles CT, FD, CPL et ESPL pour le cas 3.

Réponses des modèles CT, FD, CPL et ESPL pour le cas 4.

Réponses des modèles CT, CL et ESPL pour l'équilibre (relativement) exact.

Réponses des modèles CT, CL et ESPL pour le point d'équilibre avec erreur.

Une autre simulation a été réalisée pour comparer le modèle ESPL dérivé de la pseudo linéarisation proposée basée sur l'état d'équilibre et le modèle CL dérivé de la linéarisation classique autour du point d'équilibre. Puisque le système CMG a un nombre infini de points d'équilibre, l'état stationnaire du CMG peut être considéré comme un candidat pour le point d'équilibre à partir duquel la linéarisation conventionnelle est prise. Cependant, l'état stable du CMG dépend des couples d'entrée et ne peut pas être calculé analytiquement. De plus, les vibrations à haute fréquence restent à l'intérieur de l'état d'équilibre. Ces problèmes deviennent significatifs lorsque l'on considère la linéarisation conventionnelle autour du point d'équilibre. Dans cette étude, le modèle en temps continu a d'abord été simulé, puis son régime permanent, dont les vibrations à haute fréquence ont été filtrées, a été utilisé comme point d'équilibre pour la linéarisation. Considérons un système avec les mêmes paramètres que ceux illustrés à la Fig. 5. Le point d'équilibre pour ce cas est estimé à partir des réponses en temps continu comme \({\mathbf{x}}_{ep} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{\begin{array}{*{20}{c}}{0.638}&\quad {29.2}&\quad 0\end{array}}&0\end{array} } \right] ^T}\). La figure 7 montre les réponses du CL et des modèles à temps discret ESPL proposés, par rapport à celles du modèle CT à temps continu. Bien que le point d'équilibre ait été estimé aussi précisément que possible, il y avait des différences entre les caractéristiques et les réponses des modèles CL et CT. La vibration de \(\omega _1\) dans le modèle CT n'a pas été reproduite dans le modèle CL. Lorsque le point d'équilibre a été estimé avec une erreur, par exemple, \(10\% \) de \(\omega _1\) par rapport au cas illustré à la Fig. 7, c'est-à-dire \({\mathbf{x}}_{ep} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{\begin{array}{*{20}{c}}{0.638}&\quad {31.1}&\quad 0\end{array}}&\quad 0\end{array}} \right] ^T}\), les réponses du modèle CL étaient différentes de celles du modèle CT, non seulement en amplitude mais aussi en fréquence des vibrations (Fig. 8). Le modèle ESPL proposé a donné des réponses précises et n'a pas nécessité l'estimation du point d'équilibre.

Dans cet article, un nouveau concept d'espace d'équilibre est proposé, qui est une extension du concept de point d'équilibre dans l'espace. Le théorème indirect bien connu de Lyapunov est un outil utile pour étudier la stabilité d'un seul point d'équilibre. Cependant, pour les systèmes avec un nombre infini de points d'équilibre, étudier tous les points d'équilibre séparément n'est pas réaliste. Le concept d'espace d'équilibre peut donc être considéré comme un effort pour combler cet écart lorsque l'on considère le point d'équilibre. Bien que ce concept soit équivalent à la variété d'équilibres proposée par les chercheurs auparavant, la définition de l'espace d'équilibre proposée dans cette étude devrait le rapprocher des applications aux problèmes d'ingénierie. Au sens de la méthode de linéarisation de Lyapunov, cet article propose une pseudo linéarisation, par laquelle on peut dériver un système non linéaire présenté sous la forme linéaire. L'état d'équilibre de cette pseudo-linéarisation et sa stabilité sont les mêmes que ceux du système non linéaire d'origine. Pour démontrer les applications potentielles, la pseudo-linéarisation proposée a été utilisée pour dériver un modèle en temps discret pour le système CMG à partir d'un modèle non linéaire en temps continu. Les résultats de la simulation ont montré que le modèle à temps discret dérivé à l'aide de la pseudo-linéarisation proposée donnait des réponses plus proches de celles du modèle à temps continu que les modèles à temps discret dérivés de la différence avant bien connue, de la représentation pseudo-linéaire conventionnelle et de la linéarisation autour des méthodes du point d'équilibre, même avec un grand intervalle d'échantillonnage. L'étude des applications de la pseudo-linéarisation basée sur l'état d'équilibre pour l'analyse du système et la conception de contrôle sera considérée comme la prochaine étape.

Les ensembles de données utilisés et/ou analysés au cours de l'étude en cours sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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Les auteurs n'ont aucun intérêt financier ou non financier pertinent à divulguer.

Ryotaro Sakata

Adresse actuelle : Electronic Control and Simulation Group, Toyota Systems Corporation, Nagoya, Japon

Département des systèmes d'interaction intelligents et mécaniques, Université de Tsukuba, Tsukuba, 305-8573, Japon

Ryotaro Sakata, Tatsuya Oshima, Shin Kawai et Triet Nguyen-Van

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RS et TNV ​​ont proposé la conceptualisation ; Tous les auteurs ont étudié la méthodologie, rédigé et édité le manuscrit ; TNV a supervisé la recherche.

Correspondance à Triet Nguyen-Van.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Sakata, R., Oshima, T., Kawai, S. et al. Espace d'équilibre et pseudo linéarisation des systèmes non linéaires. Sci Rep 12, 21147 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-25616-1

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Reçu : 05 août 2022

Accepté : 01 décembre 2022

Publié: 07 décembre 2022

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-022-25616-1

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