Minimisation fonctionnelle des coûts basée sur la CAG quadratique optimale discrète pour les systèmes d'alimentation interconnectés

Dec 03, 2023

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 2752 (2023) Citer cet article

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La complexité et la difficulté croissantes du problème du contrôle automatique de la production (AGC) résultent de l'échelle croissante des réseaux électriques interconnectés et de l'évolution des demandes quotidiennes. Les principaux objectifs de l'AGC sont de contrôler les variations de fréquence aux niveaux nominaux et les variations de puissance de la ligne de raccordement aux niveaux prévus. Pour traiter efficacement les difficultés de contrôle AGC, cette étude introduit le contrôle de génération automatique quadratique optimal discret (OQAGC). L'un des avantages de cette méthode est la différenciation des résultats de la fonction de coût quadratique en termes linéaires tout en minimisant les actions de contrôle et en minimisant les écarts d'état. Cette méthode de commande développée conduit à une loi de commande discrète simple et facile qui peut être mise en œuvre pour les systèmes linéaires et non linéaires. Pour optimiser le contrôleur, ce travail de recherche a utilisé un théorème de contrôle optimal utilisant des multiplicateurs lagrangiens, tandis que la technique de minimisation fonctionnelle est utilisée pour sélectionner systématiquement les matrices de pondération d'état et de contrôle sous forme discrète pour N régions de contrôle (où N est le nombre de systèmes électriques interconnectés). Les besoins de la fonction de coût discrète sont dérivés à l'aide de cette technique en termes d'erreurs de contrôle de zone, d'erreurs de contrôle de zone intégrales et de dépense d'énergie de contrôle. Quatre systèmes électriques interconnectés ont été analysés avec/sans perturbations et erreurs de contrôle de zone, chacun avec une unité thermique, hydroélectrique et génératrice de gaz. Un système d'alimentation multi-sources à deux zones avec énergie renouvelable dans la zone de contrôle 2 est analysé pour les performances du contrôleur proposé avec des contraintes de taux de production (GRC). La technique de minimisation fonctionnelle simplifie et facilite le choix des matrices de pondération. En outre, les résultats de la simulation suggèrent que l'approche de minimisation fonctionnelle des coûts basée sur le contrôle AGC quadratique optimal discret améliore la dynamique du système électrique en termes de stabilité, de performances en régime permanent et de robustesse du système de contrôle en boucle fermée face aux perturbations de charge d'entrée. En conséquence, l'approche OQAGC nouvellement développée démontre l'importance du contrôleur LQR discret pour N systèmes électriques multizones.

Le contrôle de la puissance active est une exigence majeure dans la gestion quotidienne de tout système énergétique moderne1. Les principaux objectifs de ce contrôle sont de maintenir les écarts de fréquence à une valeur nominale, de maintenir les changements de puissance de raccordement entre les zones à une valeur programmée et de s'assurer que les variations de fréquence sont ramenées à zéro2,3,4. En d'autres termes, les pertes de puissance et les charges sont sensibles à la vitesse et à la fréquence du générateur. Ainsi, pour un fonctionnement satisfaisant, la puissance mécanique et la puissance électrique délivrées aux consommateurs doivent être adaptées. La fréquence du système dépend du bilan de puissance active. Par conséquent, une inadéquation de la puissance active reflète un changement de fréquence. Une fois qu'une charge est ajoutée au système électrique, l'inadéquation de la puissance est initialement compensée en extrayant l'énergie cinétique du stockage inertiel du système, ce qui entraîne une baisse de la fréquence du système électrique. Une diminution de la fréquence entraîne une diminution de la puissance absorbée par les charges. A l'équilibre, la fréquence sera constante ou à valeur nominale5,6.. En revanche, les ressources distribuées ont un comportement totalement différent par rapport aux générateurs classiques car elles sont interfacées via des dispositifs électroniques de puissance7. En conséquence, il n'y a pas de couplage entre la vitesse de rotation du générateur et la fréquence du système8, et par conséquent, les unités de production connectées à l'onduleur ne contribuent pas de manière inhérente à l'inertie totale du système9. Par conséquent, les ressources énergétiques distribuées intégrées dans les systèmes électriques agissent comme des perturbations supplémentaires pour le système électrique considéré. De ce fait, l'augmentation des demandes de charge rend ce problème de contrôle difficile. Outre que le système électrique interconnecté prend de l'ampleur en raison de l'intégration des nouvelles ressources distribuées, à savoir les parcs éoliens et le PV, dans le réseau principal, l'adoption de nouveaux concepts, à savoir le réseau intelligent et la numérisation des systèmes électriques, rend ce contrôle encore plus complexe et difficile10.

Contexte : Au début, le contrôle de la ligne de raccordement de polarisation a été introduit par Cohn en 1956 pour un système électrique interconnecté. La fréquence du système d'alimentation était contrôlée via le régulateur de la machine synchrone à l'aide d'un mécanisme à volant d'inertie11. Cette technique s'est ensuite révélée insuffisante. Par conséquent, l'idée d'un contrôle supplémentaire a été ajoutée au régulateur à l'aide du signal d'erreur de contrôle de zone (ACE)12. Les types de contrôle supplémentaire les plus largement utilisés dans la littérature sont les contrôleurs linéaires classiques : contrôleurs à contrôle intégral (I), proportionnel-intégral (PI) et proportionnel intégral dérivé (PID) en raison de leur simplicité de conception et de mise en œuvre. Par conséquent, leur inconvénient majeur était la dégradation des performances du système contrôlé en raison des non-linéarités du système et des points de fonctionnement du système13. De plus, une panne de courant peut survenir, en raison de la taille et de la complexité accrues des systèmes électriques modernes, car les oscillations se propageront dans les systèmes électriques interconnectés14. Pour relever ces défis, une méthode de contrôle AGC quadratique optimale basée sur des théories de contrôle modernes optimales est nécessaire pour réguler la fréquence et le flux de puissance de la ligne de liaison. Le régulateur quadratique discret est utilisé car dans la plupart des applications de commande modernes, la loi de commande est construite autour d'un ordinateur (microcontrôleurs), où l'action de la loi de commande est assurée pendant la période d'échantillonnage. De plus, la loi de commande linéaire peut être appliquée à la fois aux systèmes linéaires et non linéaires sur la base de l'hypothèse de linéarité qui justifie l'utilisation des théories de commande linéaire optimale. Enfin, le résultat de différenciation de la fonction de coût quadratique conduit à un terme linéaire et à des compromis entre la minimisation de l'action de contrôle et les variables d'état15.

Revue de la littérature : Dans le passé, diverses catégories de contrôle ont été adoptées pour traiter les problèmes d'AGC. Ces stratégies de contrôle allaient de méthodes de contrôle robustes, de contrôle de structure variable, de schémas de contrôle adaptatifs, de méthodes de contrôle robustes, de contrôle numérique et de techniques intelligentes, entre autres. Les revues approfondies menées donnent l'analyse complète de la littérature des divers mécanismes de contrôle AGC ainsi que leurs avantages et inconvénients10,12,16,17. Plusieurs études AGC ont été menées au cours de la dernière décennie pour résoudre les problèmes d'AGC dans des systèmes électriques interconnectés complexes utilisant des techniques de calcul souple et de contrôle intelligent, notamment ; Contrôleur PID d'ordre fractionnaire à deux degrés de liberté (2-DOF-FOPID)18, contrôleur PID 2DOF basé sur les méthodes d'optimisation FACTS et luciole19, algorithme d'optimisation multiobjectif de la colonie d'abeilles artificielles (ABC) pour le contrôle de la fréquence de charge (LFC)20, algorithme d'évolution différentielle (DE)21, algorithme d'optimisation de la recherche de nourriture bactérienne (BFOA)22, un algorithme de recherche d'harmonie quasi-oppositionnelle (QOHS) basé sur la dérivée proportionnelle-intégrale-dérivée ( PID)23, l'optimisation basée sur l'apprentissage (TLBO)24, l'intégrale à deux degrés de liberté plus la dérivée double (2DOF-IDD) basée sur l'algorithme de recherche de coucou (CS)25, le stabilisateur de système d'alimentation (PSS) et le compensateur de série synchrone statique (SSSC) basés sur l'algorithme d'optimisation de chercheur (SOA)26, et le contrôleur de planification de gain flou basé sur l'algorithme génétique (GA)27. Récemment, un nouveau contrôleur de filtre dérivé intégral flou en cascade (FPIDN) - PIDN d'ordre fractionnaire (FPIDN-FOPIDN) basé sur l'algorithme de concurrence impérialiste (ICA) a été proposé pour traiter efficacement les problèmes d'AGC dans divers systèmes d'alimentation interconnectés à contrôle à deux zones28. Ceci principalement en raison de leur solution à faible coût et des garanties de fournir des solutions pratiques, ainsi que de leur capacité à gérer les incertitudes, les non-linéarités et la complexité des systèmes électriques10. En outre, les contrôleurs optimaux basés sur des algorithmes génétiques (GA) sont associés à une forte corrélation des paramètres optimisés et les performances de GA et ses capacités de recherche sont dégradées et réduites en raison d'une convergence prématurée29. De plus, l'optimisation de l'essaim de particules (PSO) est associée aux phénomènes d'explosion de l'essaim (particules divergentes à l'infini) même si la vitesse et l'accélération maximales sont correctement définies23. Malgré les avantages des techniques de contrôle AGC basées sur le soft computing, elles donnent des valeurs de sortie approximatives au lieu de véritables valeurs optimales.

Une théorie de contrôle optimal moderne a également été étudiée dans la littérature comme l'une des stratégies de contrôle pour faire face à la complexité des systèmes électriques interconnectés. Le premier contrôle AGC optimal a été introduit par Fosha et Elgerd30, et Elgerd et Fosha31 pour les systèmes électriques interconnectés à deux zones. Dans ces articles, les auteurs ont proposé un AGC optimal contrôlé à l'aide d'un contrôle de rétroaction d'état complet basé sur la loi d'une loi de commande proportionnelle-intégrale (PI) pour minimiser la fonction de coût et déterminer une matrice de rétroaction de gain. La conception de la commande optimale vise à déterminer la loi de commande optimale qui peut faire passer le système de son état initial à l'état final tel qu'une fonction de coût donnée soit minimisée32. Ibraheem et Kumar33 ont proposé une AGC optimale basée sur le contrôle de rétroaction d'état et trois approches différentes pour sélectionner des matrices de pondération afin de minimiser la fonction de coût et de trouver les gains optimaux de la matrice de rétroaction pour un système électrique interconnecté à deux zones avec des turbines sans réchauffage. Les trois approches sont les indices de contrôlabilité et d'observabilité du système, la méthode de minimisation fonctionnelle (FMM) et le jugement technique basé sur la sélection de tous les états du système électrique. Dans la première approche, la matrice d'état du système électrique est transformée en matrice diagonale en utilisant la méthode de décomposition des valeurs propres et des vecteurs propres. dans la deuxième approche, les matrices de pondération sont obtenues par les valeurs minimales de la fonctionnelle de la fonction de coût, qui peuvent être obtenues par les différentielles partielles de la fonctionnelle de la fonction de coût. Cette approche considère peu de variables de sortie, à savoir le minimum d'erreur de contrôle de zone, le minimum de l'erreur de contrôle de zone intégrale et le minimum des signaux de contrôle. Enfin, les matrices de pondération de la troisième approche sont sélectionnées en considérant toutes les variables d'état impliquées dans l'action de contrôle. Les matrices de pondération sont généralement construites à partir de matrices d'identité basées sur l'ordre du système électrique. De plus, pour tenir compte des retards de communication et assurer la stabilité du système électrique interconnecté dans un environnement en temps réel, les auteurs (Pathak et al.34) ont proposé un contrôle PI centralisé optimal basé sur le contrôle de rétroaction d'état et la méthode de minimisation fonctionnelle (FMM) pour un système électrique interconnecté à deux zones identiques. Pour minimiser le suivi des déviations de puissance et de fréquence de la ligne de liaison, les auteurs (Tungadio et al.2) ont conçu un contrôleur optimal basé sur fmincon pour contrôler l'équilibre de puissance active de deux micro-réseaux reliés par deux lignes de liaison AC. fmincon est une fonction MATLAB intégrée utilisée pour résoudre des problèmes d'optimisation. Chaque micro-réseau se compose d'un parc éolien, d'une centrale hydroélectrique, d'un système de stockage d'énergie par batterie et de la demande de charge. Cette méthode de contrôle peut gérer la robustesse, la fiabilité et les non-linéarités associées au système d'alimentation par rapport au contrôleur linéaire PID. Dans une autre étude, Yang et al.35 ont combiné la fonction énergétique de Lyapunov, la théorie de conception d'optimisation et une matrice linéaire itérative pour concevoir un contrôle AGC optimal pour des systèmes électriques interconnectés à deux et cinq zones respectivement. De plus, une conception LQR distribuée est proposée par Vlahakis et al. pour un système électrique multi-zones à grande échelle afin de garantir la stabilité globale du réseau et les rejets de perturbations des variations d'échelon de puissance36. Cette méthode maximise les marges de stabilité et robuste contre les perturbations de charge. Récemment, un contrôle AGC optimal basé sur un contrôle de rétroaction d'état complet pour un système d'alimentation interconnecté à deux zones avec plusieurs générateurs a été proposé pour minimiser la fonction de coût et trouver le gain de la matrice de rétroaction. Cette méthode montre que les méthodes de contrôle optimales sont simples à concevoir, offrent des performances peu coûteuses et robustes. De plus, il est robuste, fiable, contre les non-linéarités et les incertitudes de modélisation associées aux systèmes électriques2. Par conséquent, dans cet article, la minimisation fonctionnelle des coûts basée sur la CAG quadratique optimale discrète est adoptée pour les systèmes électriques interconnectés.

Dans la conception de la commande quadratique optimale, la première étape la plus importante est le choix des matrices de pondération d'état et de commande Q et R. Les matrices de pondération Q et R jouent un rôle essentiel dans la détermination de la quantité d'erreur en régime permanent, de la dépense énergétique et des performances du système21. Dans la littérature, diverses approches ont été utilisées pour le choix des matrices de pondération. Les auteurs ont utilisé une méthode d'essais et d'erreurs basée sur les caractéristiques de l'état du système et du contrôleur37, la règle de Bryson dans laquelle les matrices Q et R, sont prises comme des matrices diagonales avec des entrées diagonales38 pour sélectionner les matrices de pondération. En outre, Q et R ont également été sélectionnés en fonction de la fréquence naturelle souhaitée et du taux d'amortissement du système en boucle fermée pour les contrôleurs linéaires basés sur LQR39. Les auteurs (Das et al.40) ont proposé d'utiliser des techniques d'optimisation globale, c'est-à-dire un algorithme génétique codé réel pour trouver de manière optimale les matrices de pondération associées à la conception de contrôle PID basée sur LQR. En outre, les indices de contrôlabilité et d'observabilité du système, la méthode de minimisation fonctionnelle (FMM) et le jugement technique basé sur la sélection de tous les états du système électrique. Dans la méthode médiane, la commande AGC quadratique optimale est conçue pour transférer l'état du système d'un état initial arbitraire à l'état final en un temps infini afin que la fonction de coût soit minimisée. La matrice de pondération Q a été définie pour le système dynamique étudié en considérant l'excursion des erreurs de contrôle de zone, l'excursion de l'intégrale des erreurs de contrôle de zone et l'excursion du vecteur de contrôle autour de l'état stationnaire. Cette méthode a été récemment appliquée à un modèle réaliste d'AGC optimal dans un environnement temps-réel pour deux zones de contrôle de l'existence de retards de communication34. Les résultats ont révélé que la méthode de minimisation fonctionnelle des coûts fournit des réponses plus réalistes et qu'elle peut être facilement étendue à la classe des grands systèmes dynamiques, c'est-à-dire les systèmes de puissance couplés à des signaux d'interaction. En outre, la méthode discutée a l'avantage d'utiliser une partie des variables d'état pour construire la matrice de pondération d'état, et donc elle ne nécessite pas d'observateur pour estimer les états du système électrique.

Lacunes de la recherche et motivation : Sur la base de la revue de la littérature, deux études n'ont été menées que pour la méthode de minimisation fonctionnelle pour le système de contrôle à deux zones avec des turbines identiques sans réchauffage. Il n'y a pas de recherche liée aux générateurs hydroélectriques et au gaz, ainsi qu'à la combinaison de ces deux générateurs et d'autres types de générateurs. Par conséquent, le contrôle de génération automatique quadratique optimal discret (OQAGC) basé sur la minimisation des coûts fonctionnels est développé pour les systèmes électriques interconnectés dans cet article. Puisqu'il fournit une approche systématique simple et directe, prend en compte des variables d'état partiellement connues et permet à la fonction de coût d'optimiser la matrice des gains de rétroaction d'état à l'aide de la théorie quadratique linéaire bien connue, les matrices de pondération d'état et d'entrée sont construites à l'aide de l'approche de minimisation fonctionnelle. De plus, en raison de la haute précision, de la taille plus petite du contrôleur et de l'adoption et de la réduction du bruit des méthodes de contrôle numérique16,17, les modèles d'espace d'état sont convertis de formes continues en formes discrètes. De plus, OQAGC comparé aux approches de contrôle existantes.

Contribution

Compte tenu de la littérature ci-dessus, les contributions importantes de cet article sont les suivantes :

La modélisation de l'espace d'états de formes continues et discrètes de systèmes électriques interconnectés à quatre zones est présentée.

Une méthode générale de minimisation fonctionnelle des coûts est proposée pour sélectionner des matrices de pesée discrètes pour N zones de contrôle et quatre zones de contrôle avec des générateurs de non-réchauffage, de réchauffage, d'hydroélectricité et de gaz.

Des matrices de pondération d'état et d'entrée sont développées sur la base de la méthode de minimisation fonctionnelle à mettre en œuvre dans la fonction de coût pour N zones de contrôle et quatre zones de contrôle avec des générateurs de non-réchauffage, de réchauffage, d'hydroélectricité et de gaz.

La matrice d'équations de Riccati en régime permanent est mise en œuvre efficacement pour optimiser les gains de contrôle de rétroaction.

Le contrôle de production automatique quadratique optimal discret (OQAGC) est proposé sur la base d'une approche de minimisation fonctionnelle et d'un cadre de théorie de contrôle optimal pour les systèmes électriques interconnectés à N avec des perturbations de charge.

Les performances de l'OQAGC sur la dynamique du système électrique ont été étudiées avec/sans erreurs de contrôle de zone de perturbations et analyse de sensibilité en considérant quatre zones de contrôle. Les résultats ont révélé que les déviations d'états peuvent converger vers zéro et que l'OQAGC montre une robustesse contre les perturbations. Ainsi, OQAGC promet d'être largement appliqué pour des systèmes décentralisés plus complexes

Enfin, la formulation de la fonctionnelle de coût à l'aide de l'approche de minimisation est simple et facile à mettre en œuvre.

Organisation du papier : Le papier est organisé comme suit : la section "La conception du contrôleur OQAGC" décrit en détail la conception du contrôleur OQAGC. La section "Une méthode de minimisation fonctionnelle" décrit l'approche de minimisation fonctionnelle développée dans un cadre général pour N zones de contrôle. La conception d'un OQAGC pour le système électrique à quatre zones est abordée dans la section "Étude de cas : conception d'un OQAGC discret pour les systèmes électriques à quatre zones". Les résultats et la discussion sont décrits respectivement dans les sections "Résultats et discussions" et "Conclusion".

Pour la conception de contrôle OQAGC, le système de contrôle peut être optimisé en utilisant le théorème optimal et les multiplicateurs lagrangiens. La figure 1 représente un système de contrôle quadratique optimal discret en boucle fermée avec un signal de perturbation de charge \(w(k)\) et un signal de sortie \(y\left(k\right).\)

Boucle fermée pour un système de contrôle optimal avec perturbations.

Considérons le problème d'optimisation en régime permanent pour un système électrique interconnecté avec un nombre N de zones de contrôle et une fonction de coût :

Soumis à la contrainte d'égalité : un système de commande linéaire discret

où \({Q}_{k}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}\) et \({R}_{k}\in {\mathbb{R}}^{r\times r}\) sont des matrices symétriques positives semi-définies \(k={k}_{0},{k}_{1},\ldots , {k}_{f-1}\), \({k}_{f} =\infty\), \(x(k)\) est \({n}{th}\) vecteur d'état d'ordre, \(u(k)\) est \({r }^{th}\) vecteur de contrôle d'ordre et \({A}_{k}\) et \({B}_{k}\) sont respectivement des matrices de dimensions \(n\times n\) et \(n\times r\),\(x({k}_{0})\) et \(x( {k}_{f})\) sont respectivement les conditions d'état initial et final \(, w(k)\) est \({m}^{th}\) vecteur d'entrée de perturbation d'ordre, et \(\Gamma\) \(\in {\mathbb{R}}^{n\times r}\) est une matrice de perturbation.

Un ensemble de multiplicateurs de Lagrange \(\lambda \left(1\right),\) \(\lambda \left(2\right), \lambda \left(3\right)\),…,\(\lambda \left({k}_{f}\right)\) sont utilisés pour joindre la fonctionnelle de coût dans l'équation. (1) et la contrainte d'égalité donnée dans l'Eq. (2) de sorte que la fonctionnelle de coût augmenté suivante soit minimisée41.

où \(\lambda (k +1)\) est le multiplicateur de Lagrange. À partir de la définition de la fonctionnelle de coût augmenté, les fonctionnelles lagrangiennes et hamiltoniennes sont définies comme suit :

La fonction lagrangienne dans Eq. (4) et la fonction hamiltonienne dans l'équation. (5) sont liés par

Les conditions nécessaires qui minimisent la fonction de coût augmentée, \({J}_{a}\) sont obtenues en prenant les dérivées partielles de la fonctionnelle hamiltonienne par rapport à l'état \(x(k),\) co-état \(\lambda \left(k+1\right)\) et la commande de transformation \(u(k)\) respectivement comme suit :

au prochain intervalle de temps \(\left(k+1\right),\) l'Eq. (7) peut s'écrire

Alors, la boucle ouverte optimale \(u(k)\) de l'Eq. (10) est obtenu par

Ainsi, en substituant la loi de commande optimale en boucle ouverte dans l'état Eq. (8), le système hamiltonien ou système État et Co-État s'obtient comme suit42 :

où \({E}_{k}={B}_{k}{R}_{k}^{-1}{B}_{k }^{T}.\) Ensuite, la matrice d'équation de Riccati en régime permanent peut être définie comme

Par conséquent, la loi de commande par rétroaction optimale est donnée par la formule,

où \(L\) est la matrice de gain de rétroaction optimale et elle est donnée par la formule,

Le système optimal en boucle fermée avec perturbations est donné en substituant la loi de commande par rétroaction optimale dans le modèle discret du système électrique interconnecté :

où w est le vecteur des consignes de perturbation de charge. Le système en boucle fermée sera stable si les parties réelles des valeurs propres de la matrice en boucle fermée, \(\left[{A}_{k}-{B}_{k}{[{R}_{k}+{B}_{k}^{T}P{B}_{k}]}^{-1}{B}_{k}^{T}P{A}_{k}\right]\) sont situées dans le demi-plan gauche du plan complexe. Par conséquent, la solution de l'équation de Riccati en régime permanent P est obtenue de manière itérative à partir de la matrice \(P(0)\) initiale. Ensuite, à l'état stable, le gain de commande de rétroaction \ (K \) entraîne la dérivation de la fonction de coût optimale J par

Les équations mathématiques de (1) à (17) ont été adoptées à partir des livres écrits par Ogata41 et Naido42.

Dans cette section, l'approche de minimisation fonctionnelle sera considérée pour développer les matrices d'état et de pondération de contrôle (\({Q}_{k}\) et \({R}_{k}\)) à partir de l'équation. (1). Dans cette approche, la fonction de coût est définie en termes d'erreurs de contrôle de zone (ACE), d'intégrale des erreurs de contrôle de zone (IACE) et de la somme de tous les efforts de contrôle. Ensuite, le concept de dérivées partielles est appliqué à chaque état et à chaque effort de contrôle, et enfin la sommation des dérivées partielles des états et des efforts de contrôle est combinée pour construire des matrices de pondération d'état et de contrôle34. En conséquence, les exigences pour la conception sont transformées en une fonction de coût de sorte que les ACE, \(\sum {AEC}_{s}\) et le vecteur de contrôle \(u(k)\) soient minimisés dans toutes les zones de contrôle, et les valeurs en régime permanent des ACE et \(\sum {AEC}_{s}\) soient nulles, tandis que la valeur en régime permanent du vecteur de contrôle est constante.

Considérez la fonction de coût qui répond aux exigences de conception pour N zones de contrôle \((i = \mathrm{1,2},\dots ,N)\)

où \({ACE}_{1},{ACE}_{2,}\dots ,{ACE}_{N}\) sont les erreurs de contrôle de zone et \(\sum {AEC}_{1},\sum {AEC}_{2},\dots ,\sum {AEC}_{N}\) intégrale des erreurs de contrôle de zone, \({u}_{1},{u}_{2},..,{u}_{N}\) sont le contrôle signaux vectoriels pour l'ensemble du système électrique interconnecté et \(\alpha\) est le facteur constant utilisé pour limiter l'effort de contrôle du contrôleur.

Pour N zones de contrôle, les erreurs de contrôle de zone et leurs intégrales peuvent être définies comme suit :

et

où \(\Delta {f}_{1}\), \(\Delta {f}_{2}\), \(\ldots ,\Delta {f}_{N}\) sont les déviations de fréquence pour la zone 1, la zone 2,\(\ldots\) et la zone N respectivement, \({\Delta P}_{tie12}\) et \({\Delta P}_{tie1N}\) sont les déviations de puissance de la ligne de raccordement de la zone 1 à la zone 2,\(\ldots\) et de la zone 1 à la zone N, \({a}_{12}=-1\) est le coefficient constant qui change le signe de la puissance tie-line vers la zone2, \(I{ACE}_{1}\), \(I{ACE}_{2},\) \(I{ACE}_{3}\), …, \(I{ACE}_{N}\) sont les intégrales de \({ACE}_{ 1},{ACE}_{2,}\dots ,{ACE}_{N}\).

En remplaçant les Eqs. (19 et 20) en Eq. (18), nous pouvons trouver que l'expression de la fonction de coût est

en ce qui concerne le coût fonctionnel

Nous supposons \({\Delta P}_{tie12}={\Delta P}_{tie13}=\dots ={\Delta P}_{tie1N}\) pour N zones de contrôle. \(u\) est également le signal du vecteur de contrôle. Maintenant, la fonctionnelle de coût \(f(.)\) peut être utilisée systématiquement pour formuler les matrices de pondération \({Q}_{k}\) et \({R}_{k}\). Tout d'abord, écrivez les ACE et les IACE en termes de variables d'état et remplacez-les dans la fonctionnelle de coût dans l'équation. (22). Par conséquent, la fonction de coût devient une fonction des variables d'état et des signaux de commande. Le but est de représenter l'Eq fonctionnelle. (23) par une fonctionnelle quadratique standard utilisant les matrices \({Q}_{k}\) et \({R}_{k}\) pour les variables d'état et de contrôle. La longueur du vecteur d'état dépend des types et du nombre de groupes électrogènes installés dans chaque zone de contrôle ainsi que de la configuration des lignes d'interconnexion. Par exemple, si nous avons N zones de contrôle et que l'écart de fréquence est sélectionné comme premier état dans une zone de contrôle N qui contient des centrales thermiques, de réchauffage, hydroélectriques et à gaz sans réchauffage, il y aura un générateur dans chaque zone de contrôle. Ensuite, le vecteur d'états \({{\varvec{x}}}^{{\varvec{T}}}=\left|\begin{array}{ccccc}{{\varvec{x}}}_{1}& {{\varvec{x}}}_{2}& {{\varvec{x}}}_{3}& \cdots & {{\varvec{x}}}_{{\varvec{N}}}\end {array}\right|\) pour N zones de contrôle est donné par :

Deuxièmement, nous prenons les premières dérivées partielles de la fonctionnelle \(f(.)\) des variables d'état et du signal de commande par rapport à tous les états et les signaux de commande, les matrices \({Q}_{k}\) et \({R}_{k}\) peuvent être construites. Ensuite, les dérivées partielles par rapport aux états de fréquence, les états de ligne de liaison et l'intégrale des états d'erreurs de contrôle de zone peuvent être obtenues sous la forme d'équations différentielles ordinaires (ODE) du premier ordre comme suit :

et

De la même manière, en prenant les dérivées partielles par rapport à l'intégrale des états d'erreurs de contrôle de zone, les ODE de premier ordre suivants sont obtenus :

Pour résoudre le problème complexe, dans cet article, l'hypothèse est faite que les demandes de puissance sur les systèmes électriques interconnectés sont les mêmes, donc les déviations de puissance de ligne de liaison sont les mêmes. En outre, la première zone de contrôle comporte des systèmes d'alimentation thermique sans réchauffage pour simplifier le processus de développement de la matrice de pondération d'état. Ensuite, à partir des Éqs. (24–26) la matrice de pondération d'état \({Q}_{k}\) de dimension n par n est construite comme suit :

Preuve : Les étapes suivantes illustrent les détails de construction de la matrice \({Q}_{k}\) :

Réécrivez et étendez la fonctionnelle \(f(.)\) comme suit :

Définissez les variables d'état, c'est-à-dire \({x}_{1}={\Delta P}_{tie1}={\Delta P}_{tie2}=\dots ={\Delta P}_{tieN},\) \({x}_{2}=\Delta {f}_{1},\) \({x}_{3}=\Delta {P}_{T1}\), \({x}_{4}=\Del ta {P}_{G1}\), \({x}_{5}=\Delta {f}_{2}\), \({x}_{6}=\Delta {P}_{T2}\), \({x}_{7}=\Delta {P}_{G2}\),…,\({x}_{3N-1}=\Delta {f}_{N},\) \({x}_{3N}=\ Delta {P}_{TN}\), \({x}_{3N+1}=\Delta {P}_{GN}\), \({x}_{3N+2}=I{ACE}_{1}\), \({x}_{3N+3}=I{ACE}_{2}\dots {x}_{4N+1}=I{ACE}_{N}.\) Puis substituez-les dans l'équation. (27) qui devient

En différenciant partiellement la fonctionnelle \(f\left(.\right)\) dans l'Eq. (28) par rapport aux variables d'état \(\begin{array}{ccccc}{x}_{1}& {x}_{2}& {x}_{3}& \cdots & {x}_{N}\end{array}\), les équations différentielles du premier ordre suivantes sont obtenues

Un concept de minimisation similaire peut être appliqué pour contrôler la dépense énergétique où les dérivées partielles du premier ordre par rapport aux signaux d'entrée de contrôle peuvent être obtenues comme suit

À la suite de l'éq. (30), la matrice de pondération de contrôle peut être construite comme suit :

La matrice \({R}_{k}\) est obtenue sous la forme d'une diagonale d'identité car on suppose qu'il n'y a qu'un seul générateur dans chaque zone de contrôle et par conséquent, le facteur de participation est de 1 par zone de contrôle.

La dynamique des systèmes électriques est de nature non linéaire. Cependant, pour le contrôle automatique de la génération, le modèle linéarisé peut être utilisé pour concevoir les contrôleurs AGC quadratiques optimaux discrets. La figure 2 montre un schéma fonctionnel des quatre réseaux électriques interconnectés. Pour plus de simplicité, nous avons fait en sorte que chaque zone ait respectivement des générateurs de non-réchauffage, de réchauffage, d'électricité et de gaz. Les modèles et les paramètres pour le réchauffage, l'hydroélectricité et le gaz ont été tirés de différentes études dans la littérature43,44,45,46,47,48,49,50.

Système d'alimentation interconnecté à quatre zones avec des erreurs de contrôle de zone.

Sur la base des principes des équations de flux de charge, le modèle linéaire d'une ligne de liaison pour un système électrique à quatre zones peut être développé comme illustré à la Fig. 3. Cette technique suppose que la résistance de la ligne de liaison est négligeable en raison de la valeur élevée de l'inductance entre la ligne \(, {{\varvec{j}}{\varvec{X}}}_{{\varvec{i}}{\varvec{j}}}\). On suppose également que le courant \({{\varvec{I}}}_{{\varvec{i}}{\varvec{j}}}\) circule de la zone de contrôle 1 à la zone de contrôle 2, de la zone de contrôle 2 à la zone de contrôle 3, de la zone de contrôle 3 à la zone de contrôle 4, de la zone de contrôle 4 à la zone de contrôle 1 et que la résistance de la ligne de liaison est nulle \(.\) Le \({P}_{r1},\) \({P}_{ r2}\), \({P}_{r3}\) et \({P}_{r4}\) sont les capacités de puissance nominale des zones de contrôle 1, 2, 3 et 4 respectivement. Ensuite, le modèle linéaire des écarts de puissance de la ligne de liaison entre les zones (1 et 2), (2 et 3), (3 et 4) et (4 et 1) peut être obtenu comme suit :

Projet de système électrique interconnecté à quatre zones avec lignes de raccordement.

En supposant que le système électrique à l'étude est un système électrique à quatre zones, c'est-à-dire \ (. N = 4 \) comme illustré à la Fig. 2. Le modèle d'espace d'état du système électrique interconnecté peut être décrit par36,37 :

où \(x(t)\in {\mathbb{R}}^{n\times 1}\) est le vecteur d'état, \(u(t)\in {\mathbb{R}}^{2\times 1}\) est le vecteur d'entrée de contrôle, et \(w(t))\in {\mathbb{R}}^{2\times 1}\) est le vecteur d'entrée des perturbations de charge, tandis que les matrices \(A,\) \(B\), \ (\Gamma ,\) \(C\) et \(D\) ont les dimensions appropriées. L'équation (34) décrit les vecteurs variables d'un modèle d'espace d'état linéaire pour un système d'alimentation de contrôle à quatre zones comme suit :

Les matrices A, B, C et D des quatre réseaux électriques interconnectés sont présentées ci-dessous. Ces matrices ont été construites en convertissant les fonctions de transfert en un ensemble d'équations différentielles du premier ordre. Le concept de modélisation du système électrique interconnecté en tant que modèle d'espace d'états se retrouve dans les études développées et représentées par Rakhshani et al.51 et Deepak et Abraham52.

Les procédures décrites dans les sections "La conception du contrôle OQAGC" et "Une méthode de minimisation fonctionnelle" sont utilisées pour concevoir des contrôleurs Optimal Quadratic AGC (OQAGC) pour les quatre zones de contrôle. Basé sur l'éq. (21), la fonction de coût pour quatre domaines est

Selon les Éqs. (19 et 20), les erreurs de contrôle de zone (AEC1, AEC2, AEC3 et AEC4) et l'intégrale des erreurs de contrôle de zone (IACE1, IACE2, IACE3 et IACE4) des quatre zones de contrôle sont définies comme suit :

et

où \({\Delta P}_{tie1}\) , \({\Delta P}_{tie2},\) \({\Delta P}_{tie3}\) et \({\Delta P}_{tie4}\) sont la somme des déviations de ligne de liaison pour les quatre zones respectivement. À partir du schéma fonctionnel illustré à la Fig. 4, la somme des déviations de puissance de ligne de raccordement dans la zone 1, la zone 2, la zone 3 et la zone 4 respectivement est obtenue comme suit :

Organigramme de l'algorithme OQAGC.

En remplaçant \({\mathrm{ACE}}_{1}\), \({\mathrm{ACE}}_{2}, {\mathrm{ACE}}_{3}\) et \({\mathrm{ACE}}_{4} \mathrm{and} {\mathrm{IACE}}_{1}\), \({\mathrm{IACE}}_{2}\), \({\mathrm{IACE}}_{ 2}\).}}_{3},\) et \({\mathrm{IACE}}_{4}\)) à partir des équations. (36 et 37) à l'éq. (35), la fonctionnelle de coût peut être donnée par :

\({\beta }_{1} , {\beta }_{2}\), \({\beta }_{3}\) et \({\beta }_{4}\) sont respectivement le biais de fréquence pour le système électrique à quatre zones, \({\Delta P}_{tie12}\) , \({\Delta P}_{tie23}\), \({\Delta P}_{tie34}\) et \ ({\Delta P}_{tie41}\) sont les écarts de ligne de liaison entre les zones 1 et 2, les zones 2 et 3, les zones 3 et 4 et les zones 4 et 1 respectivement et \({a}_{12}={a}_{23}={a}_{34}={a}_{41}=-1,\) est le coefficient constant qui change le signe de la puissance de la ligne de liaison d'une zone à l'autre. Par conséquent, les vecteurs \(x\) pour les systèmes électriques interconnectés à quatre zones avec un type d'unité de production dans chaque zone selon l'équation. (34) est défini comme suit

où \({x}_{4}\), \({x}_{10},\) \({x}_{16}\) et \({x}_{23}\) sont l'intégrale des erreurs de contrôle de zone des zones 1, 2, 3 et 4 respectivement. On peut observer que la fonctionnelle de la fonction de coût dans l'Eq. (39) peut être présenté sous la forme de l'Eq. (41), où \(f(.)\) est une fonctionnelle des erreurs de contrôle de zone, intégrale des erreurs de contrôle de zone et des efforts de contrôle \(\left(f\left(.\right)=f\left(ACEs,IACEs,u\right)\right).\) En prenant les dérivées partielles de cette fonction par rapport aux variables d'état comme dans l'Eq. (44) et contrôler les signaux d'entrée dans Eq. (45), alors, les matrices \({Q}_{k}\) et \({R}_{k}\) peuvent être dérivées sur la base de l'approche de minimisation de la fonction comme suit :

Réécrivez et étendez la fonctionnelle \(f(.)\) comme suit :

où \(\rho\) est le facteur de participation. Dans cet article, nous l'avons considéré comme 1 ( \(\rho =1\)) car nous n'avons utilisé qu'un seul type de générateur dans chaque zone.

Définissez les variables d'état, c'est-à-dire \({x}_{1}=\Delta {f}_{1},\) \({x}_{2}=\Delta {P}_{T1},\) \({x}_{3}=\Delta {P}_{G1}\), \({x}_{4}=I{ACE}_{1}\), \({x}_{5}={\Delta P}_{tie12} \), \({x}_{6}=\Delta {f}_{2}\), \({x}_{7}=\Delta {P}_{r1}\), \({x}_{8}=\Delta {P}_{T2}\),\({x}_{9}=\Delta {P}_{G2,}\) \({x}_{10}=I{ACE}_{2}\), \({x }_{11}={\Delta P}_{tie23,}\) \({x}_{12}=\Delta {f}_{3}\), \({x}_{13}=\Delta {P}_{stylo}\) \({x}_{14}=\Delta {P}_{HT}\),\({x}_{15}=\Delta {P}_{Gh,}\) \( {x}_{16}=I{ACE}_{3}\), \({x}_{17}={\Delta P}_{tie34}\),\({x}_{18}=\Delta {f}_{4}\), \({x}_{19}=\Delta {P}_{GT}\) \({x}_{20}=\Delta {P}_{GTF}\),\({x} _{21}=\Delta {P}_{GTG,}\), \({x}_{22}=\Delta {P}_{VP,}{x}_{23}=I{ACE}_{4}\),\({x}_{24}=\Delta {P}_{tie41}.\)

Puis substituez-les dans Eq. (40) sans toucher aux variables de tie-line qui devient

Définissez les variables des échanges de puissance des lignes de raccordement \({\Delta P}_{tie1},\) \({\Delta P}_{tie2}\), \({\Delta P}_{tie3}\) et \({\Delta P}_{tie4}\) à partir de l'équation. (37) et Fig. 3 comme \({{\Delta P}_{tie1}=x}_{5}- {x}_{17}-{x}_{24}\), \({\Delta P}_{tie2}\)=\({-x}_{5}+ {x}_{11}\), \({\Delta P}_{tie3}={-x}_{11}+ {2x}_{1 7}\) et \({\Delta P}_{tie4}={-x}_{17}+ {x}_{24}\). Puis en les substituant dans Eq. (41) ce qui donne :

Lorsque la fonctionnelle \(f(.)\) dans Eq. (41) est partiellement différenciée par rapport aux variables d'état \(\begin{array}{ccccc}{x}_{1}& {x}_{2}& {x}_{3}& \cdots & {x}_{24}\end{array}\),), les équations différentielles du premier ordre suivantes sont obtenues :

Un concept similaire peut être utilisé pour contrôler la consommation d'énergie, et les dérivées partielles du premier ordre par rapport aux signaux d'entrée de contrôle peuvent être trouvées comme suit :

La matrice de pondération d'état, \({Q}_{k}\), et la matrice de pondération de contrôle, \({R}_{k}\) peuvent alors être construites en utilisant les états partiels ci-dessus (l'équation dérivée (44) et les dérivées partielles de contrôle de l'équation (45) :

et

Les matrices du système d'alimentation et des \({Q}_{k}\) et \({R}_{k}\) sont ensuite utilisées pour le calcul de la matrice du contrôleur AGC quadratique optimal en utilisant les équations. (13–16). L'organigramme de l'algorithme du contrôleur OQAGC est illustré à la Fig. 4. Les premières parties de l'algorithme sont faites pour définir la fonction de coût du problème AGC en fonction des exigences de conception, d'autre part, utilisent la minimisation de la fonction de la fonction de coût pour sélectionner les matrices de pesée d'état et de contrôle, troisièmement, écrivez la fonction de coût dans l'équation. (35) sous la forme de l'Eq. (1). Ensuite, à travers un processus itératif, la solution de l'équation de Riccati discrète. (13) se trouve dans l'environnement MATLAB53. Les valeurs minimales des matrices de pondération d'état et de contrôle ainsi que la solution de Riccati Eq discrète. (13) a permis de calculer la matrice de gain de rétroaction optimale \(L\) basée sur l'Eq. (14) qui à son tour optimise la boucle fermée du système électrique interconnecté.

Dans cette section, le contrôleur quadratique optimal discret développé est testé à l'aide de la simulation MATLAB/Simulink, à savoir le contrôleur AGC quadratique optimal discret avec ACE dans un système d'alimentation à quatre zones. Pour démontrer la faisabilité de la technique de commande optimale, celle-ci est implémentée sous une forme en temps discret avec un échantillonnage de 814 ms. L'étude de simulation a étudié les performances du contrôleur développé avec et sans perturbations. Les paramètres du système d'alimentation à quatre zones sont donnés dans le tableau 1.

La matrice d'état \(A\), la matrice d'entrée \(B,\) et la matrice de perturbation \(\Gamma\) de la section "Dynamique d'un système électrique à quatre zones" sont obtenues à l'aide des valeurs des paramètres de réchauffage sans réchauffage, des turbines hydrauliques et à gaz représentées dans le tableau 1 comme indiqué dans l'équation. (44) ci-dessous.

En raison de la vitesse élevée des micro-ordinateurs, la formulation et l'implémentation du problème de contrôle quadratique optimal sous forme discrète devient une étape de conception essentielle15. Les matrices à temps continu A, B et E sont converties en matrices à temps discret \({\mathrm{A}}_{k}\),\({B}_{k}\) et \({\Gamma }_{k}\) à l'aide d'une procédure de discrétisation d'Euler en une étape53 et d'un temps d'échantillonnage. Dans cette procédure, les matrices en temps continu et en temps discret sont liées aux formules ;

où I est une matrice identité et T est la période d'échantillonnage. Ainsi, la période d'échantillonnage T a été calculée sur la base du théorème de Shannon et des critères de Nyquist comme étant de 0,0814 s54,55.

Par conséquent, lorsque les erreurs de contrôle de zone sont prises en compte, les matrices de temps discret dans l'Eq. (46) sont trouvés.

Cette section présente les résultats de simulation de la méthode de contrôle développée à l'aide des équations. (11 à 16). Se référant aux Éqs. (36 à 38), si \({\beta }_{1}={\beta }_{2}={\beta }_{3}={\beta }_{4}=0,425\) , \({a}_{12}=-1\) et en utilisant \({\Delta P}_{tie1} {\Delta P}_{tie2},\) \({\Delta P}_{tie 3}\) et \({\Delta P}_{tie4}\) selon l'équation. (38), les erreurs de contrôle de zone, l'intégrale des erreurs de contrôle de zone pour quatre zones sont obtenues comme suit

et

Substitution d'éqs. (47 et 48) en Eq. (43), la fonction de coût devient

où \({x}_{5}\), \({x}_{11}\), \({x}_{17}\) et \({x}_{24}\) sont les écarts de puissance entre les zones 1 et 2, 2 et 3, 3 et 4 et 4 et 1 respectivement, \({x}_{1}\), \({x}_{6}\), \({x}_{12}\) et \ ({x}_{18}\) sont les écarts de fréquence de la zone 1 à 4 respectivement,\({x}_{4}\), \({x}_{10}\), \({x}_{16}\) et \({x}_{23}\) sont les intégrales de ACE 1 à 4 respectivement.

Les matrices de pondération d'état et de contrôle \({Q}_{k}\) et \({R}_{k}\) sont obtenues sur la base de la procédure de minimisation fonctionnelle décrite dans la section "La conception d'OQAGC discret pour un système d'alimentation à quatre zones" et selon Eq. (44) comme suit :

La solution de la différence matricielle de l'équation de Riccati \({P}_{k}\) selon l'équation. (13) à l'état stationnaire est obtenu avec un processus d'itération à partir de la condition initiale \(P\left(0\right)=0\) comme :

Basé sur l'éq. (15), les valeurs de la matrice de gain de rétroaction constante pour le système en boucle fermée en régime permanent sont calculées comme suit :

Par conséquent, la loi de commande de rétroaction d'état optimale pour un contrôleur AGC quadratique optimal discret est :

et, les valeurs propres du système en boucle fermée correspondante sont trouvées comme indiqué dans le tableau 2. Toutes les parties réelles des valeurs propres de la boucle fermée discrète sont inférieures à 1, ce qui garantit la stabilité du système associée à l'oscillation due aux parties imaginaires des valeurs propres.

Les simulations ont été menées pour deux cas différents qui sont discutés ci-dessous :

Cas 1 : les perturbations de charge \({w}^{T}=0,01\) sont imposées au système électrique à t = 0. Les paramètres de commande à quatre zones sont utilisés. La puissance de raccordement initiale est fixée à 0 MW (0pu) et les valeurs initiales des écarts de fréquence dans quatre zones sont fixées à 0,0 Hz pour chaque zone. Le contrôleur AGC Quadratique Discret Optimal Eq. (48), est supposé agir sur le modèle d'état à quatre zones lorsque les erreurs de contrôle de zone sont prises en compte. La simulation est exécutée dans l'environnement MATLAB pour 1800 itérations avec \({k}_{0}=0\) et \({k}_{f}=1800.\)

Cas 2: étapes de chargement de charge \ ({w} ^ {t} = {\ Left [{\ delta p} _ {d1} \ boldsymbol {} \ boldsymbol {} \ boldsymbol {} \ boldsymbol {} {\ delta p} _ {d2} {\ delta p} _} _ {D4} \ droite]} ^ {{\ varvec {t}}} \) sont ajoutés simultanément à chaque zone. La puissance de raccordement initiale est fixée à 0 MW (0pu) et les valeurs initiales des écarts de fréquence sont fixées à 0,0 Hz pour chaque zone. Le contrôleur AGC quadratique discret optimal est supposé agir sur le modèle d'état à quatre zones lorsque les erreurs de contrôle de zone sont prises en compte. Nous avons considéré cela principalement pour tester la faisabilité du contrôleur développé et sa robustesse contre les perturbations. La simulation est exécutée dans l'environnement MATLAB pour 1800 itérations avec \({k}_{0}=0\) et \({k}_{f}=1800\). L'amplitude des perturbations de charge pour les quatre zones est \({\Delta P}_{D1}=10\) MW (0,01pu), \({\Delta P}_{D2}=10\) MW (0,01pu) , \({\Delta P}_{D3}=10\) MW (0,01pu) et \({\Delta P}_{D4}=10\) MW (0 .01pu) respectivement.

La figure 5 montre les écarts de fréquence de l'OQAGC lorsque les erreurs de contrôle de zone sont prises en compte dans les zones 1, 2, 3 et 4 respectivement. D'après les simulations, on peut observer que les écarts de fréquence convergent vers zéro en moins de 8 s en raison d'erreurs de contrôle de zone. On note que les écarts de fréquence sous-dépassent et dépassent avec une réponse oscillatoire avant que les signaux ne reviennent à zéro en régime établi.

Écarts de fréquence dans quatre zones de contrôle sans perturbations.

Le modèle OQAGC avec erreurs de contrôle de zone fournit cet écart de puissance de ligne d'interconnexion pour les quatre zones illustrées à la Fig. 6. On observe que l'écart de ligne d'interconnexion converge vers zéro en moins de 8 s. Les déviations de puissance de ligne de liaison pour les quatre zones dépassent et sous-dépassent autour du zéro avec oscillation avant que les signaux ne reviennent à zéro. De plus, nous pouvons voir que le système d'énergie thermique à turbine de réchauffage était associé au dépassement le plus élevé, tandis que le système hydroélectrique était associé au plus petit dépassement. Pour les systèmes électriques à gaz, l'amplitude du dépassement est constante par rapport aux autres systèmes électriques.

Écarts de puissance de raccordement dans quatre zones lorsqu'aucune perturbation n'est imposée.

La figure 7 montre l'intégrale des erreurs de contrôle de zone pour quatre systèmes d'alimentation de zone lorsque les erreurs de contrôle de zone sont prises en compte. On peut observer que l'intégrale des erreurs de contrôle de zone converge vers zéro en moins de 9 s. L'intégrale des écarts d'erreur de contrôle de zone pour les quatre zones dépasse et dépasse autour du zéro avec oscillation avant que les signaux ne reviennent à zéro.

Intégrale des erreurs de contrôle de zone dans quatre zones sans perturbations.

Ces résultats révèlent que le contrôleur OQAGC discret avec ACE peut amener les fluctuations associées aux écarts de fréquence, aux écarts de ligne de raccordement et à l'intégrale des erreurs de contrôle de zone à leurs valeurs nominales dans un délai raisonnable. De plus, les écarts de fréquence, les écarts de ligne de liaison et l'intégrale des erreurs de contrôle de zone pour les quatre zones sont associés à un dépassement et à un dépassement inférieur autour du zéro avec oscillation pendant la période transitoire. De plus, les systèmes d'énergie thermique sans réchauffage et à turbine de réchauffage étaient associés au dépassement le plus élevé pour l'intégrale des zones de contrôle régional, tandis que les systèmes hydroélectriques et à gaz étaient associés au plus petit dépassement pour l'intégrale des zones de contrôle régional.

Dans le cas de 2 simulations, des charges de puissance de 1 % sont ajoutées simultanément aux intervalles aléatoires de 5 s du système, car les demandes de charge peuvent changer à tout moment de la journée. La figure 8 montre les tracés des écarts de fréquence pour les zones 1 à 4 respectivement, lorsque les erreurs de contrôle de zone sont prises en compte. On observe que le contrôleur OQAGC rejette significativement les perturbations à 4 s ou plus. L'OQAGC discret a le plus grand dépassement et sous-dépassement dans les écarts de fréquence \(\Delta {f}_{3}\) et \(\Delta {f}_{4}\) tandis que tous les écarts de fréquence ont le même rejet de perturbation (robustesse) et le même temps de stabilisation.

Écarts de fréquence de l'OQAGC pour quatre zones avec des perturbations de charge.

Les déviations de la puissance de la ligne de liaison pour les quatre zones sont illustrées à la Fig. 9. La déviation de puissance de la ligne de liaison entre les zones 2 et 3 a le plus court sous-dépassement parmi les déviations de la ligne de liaison tandis que la déviation de puissance de la ligne de liaison entre les zones 4 et 1 a le rejet de perturbation le plus rapide (robustesse) par rapport aux autres en présence de perturbations de charge de grande ampleur.

OQAGC Écarts de ligne de liaison pour les réseaux électriques à quatre zones avec perturbations de charge.

Enfin, la Fig. 10 montre les tracés de l'intégrale des erreurs de contrôle de zone (IACE1, IACE2, IACE3 et IACE4) en présence de perturbations de charge. On peut observer que IACE4 a le rejet de perturbation le plus rapide (robustesse), tandis que IACE1, IACE2 et IACE3 ont approximativement le même rejet de perturbation.

Intégrale des erreurs de contrôle de zone pour OQAGC avec perturbations.

Les réglages des paramètres pour les deux cas sont résumés dans le tableau 3. Le tableau 4 montre la comparaison de l'écart de fréquence pour deux cas avec et sans perturbations et avec des erreurs de contrôle de zone. Les résultats montrent que le contrôleur OQAGC offre de bonnes performances dynamiques en termes de temps de montée, de temps de stabilisation et de dépassement. Le contrôleur affiche également un bon temps de réponse de rejet des perturbations.

La performance de l'OQAGC discret est comparée à celle de l'hybride neuro-flou (ANFIS) présenté par Prakash et Sinha56, 2014, comme indiqué dans les tableaux 5 et 6. Les deux contrôleurs sont imposés avec une perturbation de charge de 1 % à \(t=0\) seconde (cas 1) pour un système électrique interconnecté à quatre zones. Les résultats de simulation présentés dans les tableaux 1 et 2 montrent que l'OQAGC discret est meilleur en termes de sous-dépassement maximal et de temps de stabilisation et offre des performances supérieures par rapport au contrôleur ANFIS. Le principal inconvénient de la structure de contrôle OQAGC discrète est que les écarts de fréquence, les écarts de ligne de liaison et l'intégrale des erreurs de contrôle de zone pour les quatre zones sont associés de manière significative au dépassement et au-dessous autour du zéro pendant la période transitoire. De plus, le modèle de système grandit et s'étend à mesure que le nombre de zones augmente. Cela pose des problèmes de calcul et de conception.

Les valeurs des paramètres du système changent souvent en raison des influences environnementales, du remplacement des composants de l'équipement, des changements dans les conditions de fonctionnement et du vieillissement des composants du système. Les performances du système peuvent en souffrir et celui-ci peut devenir instable18. En conséquence, une analyse de sensibilité est effectuée pour établir la résilience des gains discrets du contrôleur OQAGC à des niveaux nominaux à travers de grandes variations dans les conditions de charge de fonctionnement. Le contrôleur développé est comparé aux contrôleurs d'ordonnancement de gain flou de la littérature afin d'étudier l'analyse de sensibilité en utilisant des conditions de fonctionnement identiques pour les deux contrôleurs. La condition de charge opérationnelle et le coefficient de synchronisation de la ligne de liaison sont ajustés à partir de leurs valeurs nominales dans le tableau 1 de 25 % et 50 % de la taille nominale de 1 % de la perturbation de charge de pas (SLP) en changeant la taille de pas de 25 %, comme indiqué dans le tableau 7.

Les figures 11 et 12 montrent les réponses simulées aux déviations de fréquence et aux fluctuations de puissance de la ligne d'interconnexion à partir de l'étude de sensibilité. La figure 11 illustre la réponse dynamique des écarts de fréquence lorsque des variations de 25 % et 50 % de l'amplitude nominale de 1 % de la perturbation de charge de pas (SLP) en pourcentage de SLP sont appliquées à t = 0 s. Les résultats révèlent clairement que toutes les réponses dynamiques de fréquence (Fig. 11) et les écarts de liaison (Fig. 12) ont un schéma similaire de pic de sous-dépassement, de pic de dépassement et ont tous une période de stabilisation de 4 secondes avec de petites différences entre les zones. Le temps de stabilisation du temps de réaction des centrales de réchauffage, hydrauliques et à gaz, en revanche, est presque le même, bien que les réactions de dépassement de pic aient légèrement varié. Pendant la période transitoire, cependant, tous les temps de réaction sont liés aux oscillations, à l'exception de la réponse de dépassement de crête élevée de la turbine de réchauffage. Les facteurs d'interaction entre les sous-systèmes produisent des variations dans la réponse de dépassement de crête, qui doivent être ajustées.

Réponse dynamique des écarts de fréquence avec (a) turbine sans réchauffage, (b) turbine de réchauffage, (c) turbine hydraulique, (d) turbine à gaz lorsque des changements de % SLP sont appliqués à \(\mathrm{t}= 0\) sec.

Réponses dynamiques des déviations de puissance Tie-lie avec (a) turbine sans réchauffage, (b) turbine de réchauffage, (c) turbine hydraulique, (d) turbine à gaz lorsque des changements de % SLP appliqués à t = 0 sec.

Un examen attentif de tous les résultats indique qu'ils sont presque identiques et n'ont pas beaucoup varié par rapport aux valeurs nominales. Par conséquent, le contrôleur OQAGC discret résiste aux fluctuations des conditions de fonctionnement de la charge. Les résultats de l'analyse de sensibilité de l'OQAGC discret sont comparés aux contrôleurs d'ordonnancement de gain flou (Arya et Kumar57). La comparaison est étudiée pour le dépassement le plus élevé et le temps de réglage pour l'écart de fréquence et l'écart de ligne de liaison des systèmes d'alimentation thermique (Figs. 11 et 12a). Les résultats de la simulation dans le tableau 8 révèlent que le contrôleur d'ordonnancement de gain flou a des réponses dynamiques supérieures en termes d'oscillations, de pic de dépassement et de temps de stabilisation par rapport au contrôleur discret OQAGC. Pour l'OQAGC discret, les variations de la réponse de dépassement de crête pendant la période transitoire sont produites par des variables d'interaction entre les régions de contrôle, qui doivent être ajustées à l'avenir en développant un contrôleur OQAGC décentralisé discret.

.

Pour démontrer la capacité du contrôleur OQAGC proposé, l'étude est étendue à un système d'alimentation interconnecté multi-zones et multi-sources avec des énergies renouvelables, comme illustré à la Fig. 13. La zone 1 comprend des centrales thermiques et hydroélectriques sans réchauffage tandis que la zone 2 comprend une centrale éolienne et une centrale thermique sans réchauffage. Le modèle linéaire d'une centrale éolienne comprend la fonction de transfert pour l'actionneur de pas, la fonction de transfert pour le mécanisme de retard qui correspond à la caractéristique phase/gain du modèle et un bloc de caractéristiques des pales58. Il est crucial d'inclure les exigences inhérentes importantes et les contraintes physiques de base dans le modèle afin d'obtenir une compréhension précise du problème AGC 43,45,59,60. Les contraintes importantes qui affectent les performances du système électrique sont la dynamique de la chaudière, la contrainte de débit de production (GRC) et la bande morte du gouverneur (GDB). Dans cette étude, le GRC a été intégré dans le modèle de système comme illustré à la Fig. 13 afin de tester si le contrôleur proposé pouvait être mis en œuvre de manière réaliste. On suppose que les facteurs de participation pour les centrales thermiques et hydroélectriques33 sont de 0,543470 et 0,3226034, respectivement, et que le facteur de participation pour les éoliennes55 est de 0,125.

Modèle de fonction de transfert d'un système d'alimentation multi-sources.

La procédure décrite dans la section "Dynamique d'un système électrique à quatre zones" est appliquée ici pour obtenir l'équation d'espace d'état d'un système d'alimentation multi-sources avec des énergies renouvelables illustré à la Fig. 13. Les paramètres typiques des centrales thermiques et hydroélectriques sans réchauffage sont tirés du tableau 1, tandis que les paramètres des éoliennes sont adoptés à partir des travaux menés par Sahu et al.59, où \({T}_{p1}=6\) ; \({T}_{p2}=0,04\), \({k}_{p2}=1,25\), \({k}_{p3}=1,4,\) \({T}_{g2}=0,08\), \({k}_{bc}=08\) \({R}_{w}=2,4\) et \({\beta }_{2}=0,425\). Le système de la Fig. 13 a 15 variables d'état où \({x}_{1}=\Delta {f}_{1}\), \({x}_{2}=\Delta {P}_{GN1}\), \({x}_{3}=\Delta {P}_{v3},\) \({x}_{4}={IACE}_{1},\) \({x}_{5}=\Delta {P}_{GH}\), \({x}_{6}=\Delta {X}_{H},\) \({x}_{7}=\Delta {P}_{RH,}\), \({x}_{8}=\Delta {P}_{tie12}\). \({x}_{9}=\Delta {f}_{2},\) \({x}_{10}=\Delta D,\) \({x}_{11}=\Delta H\), \({x}_{12}=\Delta {H}_{1}\), \({x}_{13}={IACE}_{2},\) \({x}_{14}=\Delta {P}_{GN2},\) \({x}_{15}=\Delta {P}_{v4}\). En conséquence, les vecteurs d'état, d'entrée de commande et de perturbation d'un modèle d'espace d'état linéaire pour un système d'alimentation multi-sources à deux zones peuvent être décrits comme suit :

La matrice d'état continue \({A}_{m}\), la matrice d'entrée \({B}_{m},\) et la matrice de perturbation \({\Gamma }_{m}\) sont données ci-dessous :

les procédures de conception décrites dans les sections "La conception du contrôle OQAGC" et "Une méthode de minimisation fonctionnelle" sont appliquées au modèle de système d'alimentation multizone avec des sources d'énergie renouvelables, comme indiqué à la Fig. 13. Basé sur la méthode de minimisation fonctionnelle (FFM) dans la section "Une méthode de minimisation fonctionnelle", Eqs. (18)–(31), les matrices de pondération d'état et de contrôle \({Q}_{m}\) et \({R}_{m}\) ont été formulées pour un modèle de système électrique multizone avec des sources d'énergie renouvelables. Les excursions \({ACE}_{i}\), \({IACE}_{i}\) et l'entrée de commande u sont substituées dans Eq. (18). Par conséquent, la fonction de coût \(J\) pour les systèmes peut s'écrire :

où \(\alpha\) est le vecteur des facteurs de participation, \({U}_{th1}\), \({U}_{hy}\), \({U}_{w}\) et \({U}_{th2}\) sont des signaux de contrôle appliqués respectivement aux centrales thermiques sans réchauffage 1, hydrauliques, éoliennes et thermiques sans réchauffage 2.

Les équations différentielles partielles d'état et de contrôle : (24–31) ont été utilisées et organisées pour dériver la matrice de pondération d'état \({Q}_{m}\) et la matrice de pondération de contrôle. Les valeurs numériques des matrices de pondération \({Q}_{m}\) et \({R}_{m}\) se trouvent comme suit :

Selon l'éq. (15), les valeurs numériques de la matrice des gains de rétroaction optimale se trouvent comme suit :

Les simulations informatiques ont été réalisées avec les gains des contrôleurs OQAGC pour deux cas différents. Tout d'abord, les réponses de simulation des systèmes en boucle fermée sont obtenues en fixant les valeurs initiales de la perturbation de charge de pas (SLP) à 0,01 pu dans la zone 1, tout en gardant le reste des valeurs initiales à zéro. Deuxièmement, les résultats de la simulation de la boucle fermée sont obtenus pour 1% SLP qui sont ajoutés simultanément à chaque zone tandis que le reste des variables initiales est mis à zéro. Les résultats de la simulation sont présentés dans les Fig. 14, 15, 16, 17 et des explications détaillées de ces résultats de simulation sont présentées ci-dessous.

Écarts de fréquence pour les zones 1 et 2.

Écart de puissance de raccordement entre les zones 1 et 2.

Résultats d'écart de fréquence de deux zones 1 et 2 avec SLP simultanés.

L'écart de puissance de la ligne d'interconnexion résulte dans les deux zones avec des SLP simultanés.

Les figures 14, 15 montrent les résultats de simulation pour les déviations de fréquence et les déviations de puissance de ligne de liaison. Ce sont les résultats obtenus lorsque la perturbation de charge de pas (SLP) est fixée à 0,01 pu dans la zone 1 au temps initial \(t=0\) tout en gardant le reste des valeurs initiales à zéro.

Les résultats de simulation pour les déviations de fréquence et les déviations de puissance de la ligne de liaison sont présentés sur les Fig. 16 et 17 respectivement.

Les résultats des simulations pour les écarts de fréquence et les écarts de puissance de liaison des deux zones sont résumés dans les tableaux 9 et 10, respectivement. On observe que le contrôleur OQAGC obtient presque les mêmes réponses de déviation de fréquence des dépassements de pic lorsque les perturbations de charge de pas sont appliquées respectivement ( SLP \(=0,01\mathrm{pu}\)) à t \(=0 sec\) et simultanément à différents intervalles de temps. Le temps de stabilisation de la zone 2 est plus petit que le temps de stabilisation de la zone 1 avec des erreurs en régime permanent nulles dans les deux cas. Le temps de stabilisation et le dépassement de crête sont les mêmes pour les déviations de puissance de la ligne de liaison. La déviation de la ligne de raccordement a une réponse temporelle de rejet de perturbation moindre par rapport à la réponse temporelle de rejet de perturbation des déviations de fréquence.

Un test supplémentaire de l'efficacité du contrôleur OQAGC est effectué en considérant le GRC des centrales thermiques et hydroélectriques dans le modèle de système d'alimentation à sources multiples discuté ci-dessus. Cette étude considère un GRC de 10%/min (0,0017 pu/s) pour une seule centrale thermique sans réchauffage et un GRC pour la centrale hydroélectrique de 270%/min (+ 0,045pu/s) pour augmenter une génération, et 360%/min (– 0,06pu/s) pour une génération descendante pour la centrale hydro. Des simulations sont réalisées pour des centrales sans réchauffage et hydro-génératrices avec et sans GRC avec les limites décrites ci-dessus. L'effet du GRC sur les réponses de déviation de fréquence du système d'alimentation multisource obtenu avec le contrôleur OQAGC à une perturbation de charge de pas de 1 % est illustré sur les Fig. 18 et 19 respectivement. Ces résultats montrent que le contrôleur OQAGC présente un dépassement de pic plus important et un temps de stabilisation plus long lors de l'utilisation de GRC. Cependant, dans ces deux cas particuliers, la dynamique du système électrique multi-sources avec GRC répond aux exigences de contrôle automatique de la production telles que décrites dans la littérature par Parmar43. On peut également voir que la zone de contrôle 2 est plus affectée par les contraintes de taux de production que la zone de contrôle 1 en termes de temps de stabilisation plus long et d'oscillations dues aux caractéristiques de la centrale éolienne.

Réponse de déviation de fréquence à 1 % SLP dans un système d'alimentation multisource avec et sans GRC pour une centrale thermique (a) Zone 1, (b) Zone 2.

Réponse de déviation de ligne de raccordement à 1 % SLP dans un système d'alimentation multi-sources avec et sans GRC.

Il a été observé que les performances dynamiques du système se détériorent si la limite GRC est appliquée en présence d'une centrale éolienne. Il est donc nécessaire de prendre en compte le GRC lors de l'étude réaliste du système. Les résultats du GRC de l'OQAGC discret sont comparés au contrôle de sortie optimal (Parmar43). La comparaison est étudiée pour le dépassement le plus élevé et le temps de réglage de l'écart de fréquence (Fig. 18b). Les résultats de la simulation dans le tableau 11 révèlent que le contrôleur OQAGC discret a des réponses dynamiques supérieures en termes de pic de dépassement et de temps de stabilisation par rapport au contrôle de sortie optimal.

Pour déterminer systématiquement les matrices de pondération d'état et de contrôle pour la gestion de la fréquence de charge dans N régions de systèmes électriques interconnectés avec et sans perturbations, une technique de minimisation fonctionnelle généralisée a été conçue. Des contrôleurs OQAGC discrets pour un système d'alimentation à quatre zones et un système d'alimentation multi-sources à deux zones sont développés en utilisant la théorie de la commande optimale et l'approche des multiplicateurs conventionnels lagrangiens. L'étude a pris en compte le modèle d'un système électrique à quatre zones avec des erreurs de contrôle de zone, et l'intégrale des erreurs de contrôle de zone a été ajoutée au vecteur d'état du modèle pour garantir l'absence d'erreurs en régime permanent.

Les résultats de la simulation révèlent ce qui suit :

Les contrôleurs AGC quadratiques optimaux discrets basés sur la réduction des coûts fonctionnels sont plus résistants au rejet des perturbations.

Ce travail a développé une approche OQAGC pour minimiser la fonction de coût en prenant en compte les erreurs de contrôle de surface, l'intégrale des erreurs de contrôle de surface et le contrôle de la dépense énergétique.

L'approche de minimisation fonctionnelle est utilisée pour choisir les matrices de pondération d'état et de contrôle.

Les résultats de contrôle et de simulation OQAGC discrets développés dans cet article sont basés sur la théorie du contrôle optimal quadratique discret et leur application peut être utilisée pour résoudre le problème des systèmes électriques complexes à grande échelle.

L'analyse de l'étude de sensibilité prouve que le contrôleur OQAGC discret développé est résistant aux fluctuations des conditions de fonctionnement de la charge.

L'analyse GRC prouve que le contrôleur AGC optimal discret développé répond aux exigences du problème de génération automatique.

Toutes les données générées ou analysées au cours de cette étude sont incluses dans cet article et ses fichiers d'informations supplémentaires sont également fournis.

Les références de toutes les données sont listées ci-dessous :

Référence 1 :

Titre : Un modèle plus réaliste de contrôle de production automatique centralisé dans un environnement en temps réel

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Écart de puissance de raccordement

Déviation de fréquence pour la ième zone (Hz)

L'écart d'entrée de charge pour la ième zone (pu.MW)

L'écart intégral de l'erreur de contrôle de zone de la ième zone

La constante de temps du système électrique pour la ou les ième(s) zone(s)

La constante de temps de la turbine pour la ième zone (s)

Constante de temps du gouverneur pour la ou les ième(s) zone(s)

Le coefficient de synchronisation de ligne de raccordement entre la ième zone et la jème zone (pu.MW)

Le gain du système électrique pour la ième zone

Erreur de contrôle de zone pour la ième zone

Les paramètres de régulation de la vitesse du régulateur des centrales thermiques, hydrauliques et à gaz respectivement (Hz.pu.\({\mathrm{MW}}^{-1}\))

Le facteur de polarisation de fréquence de la ième zone

Les états du système électrique global interconnecté

Le vecteur constant quadratique de contrôle optimal pour la ième zone

Le signal de la loi de commande pour la ième zone

La puissance nominale

L'écart de degré entre deux zones quelconques

Nombre de systèmes électriques interconnectés

Constante de temps du régulateur de vitesse (s)

Constante de réchauffage de la turbine à vapeur

Constante de temps de réchauffage de la turbine à vapeur (s)

Le temps nominal de démarrage de l'eau dans la conduite forcée (s)

Constante de temps pour réinitialiser le ou les régulateurs de vitesse de la turbine hydraulique

Constante de temps de chute transitoire du régulateur de vitesse de la turbine hydraulique (s)

Constante de temps du servo principal du régulateur de vitesse de la turbine hydraulique (s)

Constante de temps d'avance du régulateur de vitesse de la turbine à gaz (s)

Constante du positionneur de vanne de la ou des turbines à gaz

Positionneur de vanne de turbine à gaz

Constante de turbine à gaz du ou des positionneur(s) de vanne

Constante de temps pour turbine(s) à gaz

Temporisation de la réaction de combustion de la turbine à gaz (s)

Constante volume-temps du débit (s) du compresseur de la turbine à gaz

Les centrales thermiques, hydroélectriques et à gaz ont toutes des facteurs participants.

Constante du positionneur de vanne

Contraintes de taux de production

Écart de puissance de sortie de production de la centrale thermique sans réchauffage en pu. MW.

Écart de position de la vanne du régulateur de l'installation thermique de non-réchauffage pu.

Écart de puissance de sortie de production de la centrale thermique de réchauffage en pu. MW.

Une déviation de la sortie du régulateur intermédiaire de la centrale thermique de réchauffage en pu.

Une déviation de la puissance du régulateur de la turbine à vapeur de la centrale thermique de réchauffage de Pu

Écart de puissance de production de la centrale hydroélectrique en pu.MW

Écart de position de la vanne du régulateur de la centrale hydroélectrique en Pu

Écart de position du servomoteur de la vanne de régulation de la centrale hydroélectrique en pu

Écart de puissance de production de la centrale à gaz en pu.MW

Déviation de l'état intermédiaire du système de carburant et de la chambre de combustion de la turbine à gaz en pu

Écart à l'état intermédiaire de la vitesse de la turbine à gaz en pu

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Les auteurs remercient l'Université de technologie de Cape Peninsula d'offrir les installations nécessaires pour mener à bien ce travail de recherche au CSAEMS au sein du DEECE.

Ce travail de recherche a été financé par la subvention NRF Thuthuka n° 138177 (TTK210329591306) et ESKOM TESP (Capacitor Banks Placement), ESKOM Academy of Learning et ESKOM Power Plants Energy Institute (EPPEI) subvention pour Cape Peninsula University of Technology (CPUT) au Centre d'automatisation des sous-stations et des systèmes de gestion de l'énergie (CSAEMS) au sein du Département de génie électrique, électronique et informatique (DEECE).

Département de génie électrique, électronique et informatique, Cape Peninsula University of Technology, Symphony Way, Bellville, Cape Town, 7535, Afrique du Sud

M. Esmail & S. Krishnamurthy

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ME a réalisé la formulation mathématique, la simulation et rédigé le manuscrit initial. SK a supervisé ce travail de recherche de ME, relu le manuscrit et apporté des modifications.

Correspondance à M. Esmail.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Esmail, M., Krishnamurthy, S. Minimisation fonctionnelle des coûts quadratique optimale discrète basée sur l'AGC pour les systèmes électriques interconnectés. Sci Rep 13, 2752 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-29317-1

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Reçu : 12 juin 2022

Accepté : 02 février 2023

Publié: 16 février 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-29317-1

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