Stabilisation d'un oscillateur chaotique via une classe de contrôleurs intégraux sous saturation d'entrée

Nov 07, 2023

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 5927 (2023) Citer cet article

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Ce travail présente la conception simple d'un contrôleur intégral avec une structure anti-windup pour éviter un comportement indésirable lorsque la saturation de l'actionneur est considérée, et le contrôleur proposé améliore les performances de la dynamique en boucle fermée d'une classe d'oscillateurs non linéaires. Le contrôleur intégral proposé a un gain de contrôle adaptatif, qui inclut la valeur absolue de l'erreur de contrôle nommée pour désactiver l'action intégrale lorsqu'elle est saturée. L'analyse de stabilité en boucle fermée est effectuée dans le cadre de la théorie de Lyapunov, où l'on peut conclure que le système se comporte de manière asymptotiquement stable. La méthodologie proposée est appliquée avec succès à un oscillateur de type Rikitake, en considérant une structure à entrée unique et sortie unique (SISO) à des fins de régulation et de suivi de trajectoire. À titre de comparaison, un contrôleur intégral à gain fixe équivalent est également mis en œuvre pour analyser les propriétés anti-enroulement correspondantes de la structure de contrôle proposée. Des expériences numériques sont menées, montrant les performances supérieures du contrôleur proposé.

Le contrôle des systèmes non linéaires au comportement très complexe est actuellement un enjeu important en science et en ingénierie1,2,3,4. Comme cela est bien connu, les systèmes non linéaires présentent une multiplicité en régime permanent, où des variétés homoclines et hétéroclines instables sont possibles5,6 et la présence locale de valeurs propres nulles aux points d'équilibre7,8, les phénomènes de multiplicité d'entrée, etc.9,10 peuvent affecter les propriétés de contrôlabilité d'un système non linéaire spécifique, compliquant la conception correcte des lois de commande11,12,13.

Le contrôle des systèmes non linéaires ou encore le contrôle des systèmes dynamiques chaotiques est étudié depuis plusieurs années14,15,16,17,18. Le contrôle du chaos via adaptatif, en mode glissant, prédictif, linéarisation entrée-état, logique floue, réseau de neurones et contrôleurs proportionnels-intégraux (PI) robustes, entre autres approches, a été publié avec succès dans la littérature ouverte19,20,21,22,23,24,25. Cependant, la plupart des conceptions de contrôle susmentionnées sont basées sur des cadres mathématiques complexes et doivent être couplées, par exemple, à des algorithmes d'optimisation sophistiqués et à des modèles de systèmes non linéaires, ce qui peut compliquer leur application en temps réel et leur ajustement opérationnel par les ingénieurs25. De plus, plusieurs autres problèmes subsistent, dont l'un est lié aux restrictions physiques des oscillateurs chaotiques et des entrées de commande manipulables respectives, car il est bien connu que les variables d'état correspondantes des oscillateurs peuvent appartenir à un ensemble compact qui est borné supérieur-inférieur et que les entrées de commande manipulables appartiennent également à des intervalles avec une valeur physique minimale et maximale26,27,28.

De ce qui précède, un problème de contrôle traditionnel se pose, qui est la saturation des actions de contrôle. L'importance de prendre en considération la saturation des entrées de commande dans la conception de systèmes de commande pratiques a été bien étudiée. La saturation d'un contrôleur diminue les performances anticipées en boucle fermée de la dynamique du système et, dans des conditions extrêmes, peut conduire à une instabilité en boucle fermée29.

Maintenant, l'analyse de la saturation du contrôle a été effectuée par des conceptions anti-windup, où les applications aux systèmes linéaires et aux contrôleurs PI ont été dominantes dans la littérature ouverte30,31,32,33. Les contrôleurs PI sont largement utilisés dans la grande majorité des systèmes linéaires et non linéaires, et le terme proportionnel agit pour stabiliser le comportement dynamique du système à proximité de la référence ou du point de consigne requis, mais des valeurs de gain proportionnel élevées sont nécessaires pour diminuer le décalage34, c'est-à-dire la différence entre la valeur actuelle de la variable contrôlée et le point de consigne, ce qui rend l'action de contrôle très sensible. De plus, les contrôleurs proportionnels sont sensibles aux mesures bruyantes, et si le système atteint le point de consigne, le contrôle proportionnel est désactivé et le système est en fonctionnement en boucle ouverte ; dans ce cas, si une perturbation externe est présente, le système peut devenir instable34. Pour améliorer les performances d'un régulateur proportionnel, un terme intégral de l'erreur de régulation peut être ajouté ; le terme intégral est capable d'éliminer le décalage, de maintenir le contrôleur allumé et de rejeter certaines perturbations externes35. D'après les informations susmentionnées, seul le terme intégral des contrôleurs linéaires a été considéré pour réguler plusieurs systèmes.

En effet, la saturation des actionneurs à partir du foyer des contrôleurs linéaires a été analysée par des phénomènes d'enroulement intégral, enroulement d'intégrateur ou enroulement de réinitialisation, qui fait référence à la situation dans un régulateur de rétroaction intégrale proportionnelle (PI), où un grand changement de point de consigne se produit et le terme intégral accumule une erreur significative à mesure qu'il augmente ; par conséquent, le contrôleur est dépassé et continue d'augmenter à mesure que cette erreur accumulée est corrigée.

Les restrictions physiques susmentionnées ont des impacts importants sur les conceptions de contrôle avec un terme intégral du contrôleur PI, de sorte que si le contrôleur atteint une condition de saturation sans atteindre le point ou la trajectoire de référence requis, l'ensemble du système en fonctionnement en boucle fermée est considéré comme étant sous la condition de liquidation nommée, alors que la partie intégrale du contrôleur continue théoriquement à ajouter un effort de contrôle, mais il est physiquement saturé et l'affaire idéale est physiquement insoluble en raison de la saturation du processus ; c'est-à-dire que la sortie du processus est limitée au bas ou au haut de son échelle physique, ce qui rend l'erreur de contrôle constante, où le problème spécifique est le dépassement redondant35.

De plus, l'analyse de la saturation en termes de contrôle a été réalisée par des conceptions anti-windup, où les applications aux systèmes linéaires ont été dominantes dans la littérature ouverte36,37,38,39. Les conceptions anti-windup peuvent impliquer que les contrôleurs soient éteints pendant des durées jusqu'à ce qu'une réponse retombe dans une plage satisfaisante, ce qui se produit lorsque le processus du régulateur ne peut plus affecter la variable contrôlée. Dans les applications pratiques, cette tâche est effectuée manuellement par les ingénieurs de procédés.

Ce problème peut être résolu en initialisant le régulateur intégral à une valeur prédéfinie en fonction de la valeur avant le problème en ajoutant un point de consigne dans une plage appropriée pour désactiver la fonction intégrale jusqu'à ce que la variable de procédé qui doit être contrôlée entre dans la région contrôlable. Cela empêche le terme intégral de s'accumuler au-dessus ou au-dessous des limites prédéterminées, et le terme intégral est rétrocalculé pour contraindre le processus dans les limites réalisables. Le terme intégral doit être forcé à zéro à chaque fois que l'erreur de commande passe ou est égale à zéro. Ceci élimine le besoin pour le régulateur de piloter le système pour avoir la même intégrale d'erreur dans la direction opposée à celle de la perturbation40.

Les conceptions de contrôle anti-windup pour les systèmes non linéaires sont actuellement un véritable défi en raison de la nécessité pratique de concevoir des contrôleurs réalisables, par exemple, des contrôleurs de linéarisation via l'inversion de l'usine ; cependant, cette approche repose sur un modèle phénoménologique prédictif, ce qui est un inconvénient, ainsi que des techniques de contrôle optimal basées sur le principe du maximum de Pontryagin ou l'approche d'Euler-Lagrange avec des applications importantes, telles que la transmission sécurisée de données et la stabilisation de systèmes chimiques via des oscillateurs chaotiques41,42,43. Pour les raisons ci-dessus, les contrôleurs PI linéaires ont été envisagés avec succès et plusieurs approches ont été conçues pour éviter les phénomènes de liquidation44,45,46,47,48 en désactivant la partie intégrale des contrôleurs pour différents algorithmes ; cependant, ces contrôleurs ont des structures complexes, et leur implémentation physique est difficile.

Dans ce travail, une stratégie de contrôle simple est proposée qui ne considère qu'une intégrale de l'erreur de contrôle avec un gain adaptatif, qui désactive automatiquement l'action de contrôle lorsque le contrôleur est sous saturation, évitant les phénomènes de liquidation. Le contrôleur proposé est appliqué avec succès à une classe d'oscillateurs chaotiques non linéaires à des fins de régulation et de suivi de trajectoire.

Les modèles d'oscillateurs non linéaires ont été utilisés comme référence à des fins de synchronisation dans le cadre de la transmission sécurisée des données, et des exemples pratiques peuvent être trouvés dans Chen, Van der Pool, Rikitake et d'autres travaux sur les modèles d'oscillateurs chaotiques non linéaires.

Le système dynamique chaotique Rikitake est un modèle qui tente d'expliquer la commutation de polarité irrégulière du champ géomagnétique terrestre49,50. Les inversions fréquentes et irrégulières du champ magnétique terrestre ont inspiré plusieurs premières études impliquant des courants électriques dans le noyau en fusion de la Terre. L'un des premiers modèles de ce type à signaler des inversions a été le modèle de dynamo à deux disques de type Rikitake51. Le système présente un chaos de type Lorenz et des orbites autour de deux points fixes instables. Ce système décrit les courants de deux disques de dynamo couplés.

La dynamique 3D du système de dynamo de type Rikitake est décrite comme suit :

Ils peuvent aussi être décrits sous forme vectorielle :

où \({\bf {x}}=\left[ \begin{matrice}x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{matrice}\right] ,\) \({\bf {A}}=\left[ \begin{matrix}-1&{}1&{}0\\ 0&{}-1&{}0\\ 0&{}0&{}-\delta \\ \end{matrice}\right] , \) \({\bf {f}}\left( {\bf {x}}\right) =\left[ \begin{matrice}0\\ x_1x_3\\ \gamma ^2\left( 1-x_1x_2\right) \\ \end{matrice}\right] ,\) et \({\bf {B}}=\left[ \begin{matrice}0\\ 0\\ 1\\ \end{matrice} \droit] .\)

Les valeurs des paramètres sont \(\delta =0.01\) et \(\gamma =2.0\).

Ici, \({\bf {x}}\ \in {\mathbb {R}}^3\) est le vecteur variable d'état, qui appartient à un ensemble compact \(\Phi \) et, est naturellement borné, et \({\bf {f}}({\bf {x}})\) est supposé être un champ vectoriel lisse, où \({\bf {f}}\left( \cdot \right) : {\mathbb {R}}^3\rightarrow { \mathbb {R}}^3\) et \(u({\bf {x}})\in{ \mathbb {R}}\).

Le contrôleur intégré en (3) stabilise le comportement dynamique du système (2) à des fins de régulation et de suivi de trajectoire :

Définissons la dynamique d'erreur de contrôle du système (1) sous le contrôleur (Eq. 3) comme :

Ensuite, l'éq. (4) est réécrit en notation vectorielle :

avec : \({\bf{e}}=\left[\begin{array}{l}e_1\e_2\\e_3\\e_4\\\end{array}\right] , \) \(\Gamma({\bf{e}})=-\left[\begin{array}{llll}1 &{} -1 &{} 0 &{} 0 \\ 0 &{} 1 &{} 0 &{} 0 \ \ 0 &{} 0 &{} \delta &{} -k_3\text {abs}(e_3) \\ 0 &{} 0 &{} -1 &{} 0 \\ \end{array} \right] , \) \({\bf {F}}({\bf {e}})=\left[\begin{array}{c} 0 \\e_1e_3 \\ -\ga then ^2e_1e_ 2 \\ 0 \\ end{array} \right] , \) et \(\Delta =\left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ \gamma ^2+\delta x_{3r} \\ 0 \\ end{array} \right] . \)

L'erreur de contrôle susmentionnée est définie comme \({\bf {e}}={\bf {x}}-{\bf {x}}_r\), c'est-à-dire la différence entre les valeurs réelles du vecteur de variable d'état et du vecteur de référence. Le vecteur de référence, \({\bf {x}}_r\) est un vecteur constant pour le cas de la régulation, et il est variable pour le cas du suivi.

En supposant que \(0\le \Vert {\bf {e}}\Vert \le {e}_B\); \(0\le {e}_B <\infty \), où \({e}_B\) est la borne supérieure finie de l'erreur de contrôle, définissons :

Considérons la forme quadratique suivante comme une fonction de Lyapunov :

La dérivée temporelle correspondante est définie comme suit :

En remplaçant l'éq. (5) dans l'éq. (9) donne :

L'équation (10) donne :

En appliquant l'inégalité de Rayleigh à l'Eq. (11):

Ensuite, l'éq. (12) à l'éq. (15) sont substitués dans l'équation (11) :

où:

Dans l'éq. (17), \(\Vert {\bf {e}}\Vert _{\Gamma ^{*}}\) est défini comme

Par conséquent, de ce qui précède, on peut conclure, par la délimitation ultime, que l'erreur de régulation \({\bf {e}}(t)\) est uniformément bornée pour toute condition initiale \({\bf {e}}(t_0)\), telle que \({\bf {e}}\left( t\right) =\{{\bf {e}}(t)|\ \Vert {\bf {e}}\Vert \le \mathfrak {R } ; \ \mathfrak {R}>0\}\), et enfin :

Des simulations numériques ont été effectuées sur un ordinateur personnel avec un processeur Intel Core i7, et le système de l'Eq. (5) des équations différentielles ordinaires a été résolue numériquement en utilisant la bibliothèque ode23s de MATLAB\(^{ \text {TM}}\), avec les conditions initiales correspondantes \(x_{10} = 0,1\), \(x_{20} = 0,1\) et \(x_{30} = 0,1\), selon McMillen51. Une configuration de contrôle à entrée unique et sortie unique (SISO) est sélectionnée pour le système. Le système est dans le régime en boucle ouverte du démarrage jusqu'à \(t = 100\) unités de temps, où le contrôleur (Eq. 3) est activé, et \(x_3\) est proposé comme variable contrôlée. Un premier ensemble de simulations est effectué à des fins de régulation, où le point de référence ou point de consigne sélectionné est \(x_{3r} = 1,0\), et un deuxième ensemble de simulations est effectué pour le cas de suivi, où le système (1) est forcé de suivre la trajectoire décrite pour \(x_{3r} = 2,5\ \sin (0,1t + 0,5)\). Pour les deux exigences de contrôle, c'est-à-dire la régulation et le suivi, les saturations de contrôle sont données par les bornes inférieure et supérieure suivantes :

Nous fixons \(u_{min}=-10\) et \(u_{max}=20\).

À des fins de comparaison, un contrôleur intégral standard similaire avec un gain fixe est appliqué comme suit :

Ici, pour obtenir les conditions les plus similaires pour le fonctionnement du contrôleur (Eq. 21) et du contrôleur (Eq. 3), le gain de contrôle \(k_1 = -1,0\) est égal pour les deux lois de contrôle.

La figure 1 montre à la fois le comportement dynamique en boucle ouverte et en boucle fermée de la variable d'état contrôlée \(x_3\) pour le cas de régulation. Comme observé, la trajectoire correspondante atteint presque immédiatement le point de référence \(x_{3r} = 1.0\) pour le contrôleur proposé. De plus, lorsque le contrôleur intégral est en fonctionnement, la trajectoire correspondante a des dépassements oscillatoires plus élevés et de plus, le contrôleur intégral n'est pas en mesure de réguler le comportement dynamique de l'état contrôlé \(x_3\), qui a une oscillation soutenue.

Commande de régulation de \(x_3\).

Les figures 2 et 3 montrent les performances en boucle ouverte et en boucle fermée des trajectoires des variables d'état non contrôlées, \(x_1\) et \(x_2\), respectivement. En conséquence de la performance de la variable d'état contrôlée \(x_3\), le comportement oscillatoire est supprimé et les trajectoires sont conduites en douceur vers un état stable sous l'action du contrôleur proposé. De plus, les trajectoires des variables d'état non contrôlées sous l'action du contrôleur intégral conservent un comportement oscillatoire même après le début de l'action de contrôle, et il atteint finalement un état stable.

Trajectoires de la variable non contrôlée \(x_1\).

Trajectoires de la variable non contrôlée \(x_2\).

La performance des variables d'état est représentée sur la Fig. 4, où un portrait de phase est présenté dans les conditions mentionnées sur les Fig. 1, 2 et 3. L'orbite correspondante sous le contrôleur proposé arrive à l'état stationnaire mentionné ci-dessus, avec \(x_3 = x_{3r}\) et le comportement oscillatoire est supprimé. Cependant, l'orbite correspondante induite par le contrôleur intégral maintient des oscillations avec un rapport large, et l'orbite conserve un comportement oscillatoire.

Portrait de phase pour le contrôle de la régulation.

Signaux de contrôle impactés par le problème de régulation.

Les comportements susmentionnés des variables d'état sous les deux contrôleurs peuvent s'expliquer par les performances des deux contrôleurs comparés. La figure 5 montre la performance de l'effort de contrôle. Le contrôleur proposé a un comportement fluide et n'atteint pratiquement pas les conditions de saturation. Comme prévu, le contrôleur a la réponse anti-enroulement souhaitée, conduisant la trajectoire de la variable d'état contrôlée au point de consigne requis et empêchant la réponse oscillatoire des variables d'état non contrôlées, comme mentionné ci-dessus. La loi de commande intégrale montre à la fois la saturation inférieure et supérieure lors de la mise en marche, ce qui est l'effet de liquidation nommé. On peut observer que l'effort de contrôle est très élevé en raison de la grande oscillation qui se produit au début du régime en boucle fermée et de l'oscillation soutenue dans des conditions d'état stable dans les applications pratiques. Ces caractéristiques ne sont pas souhaitables en raison du potentiel d'endommagement physique de l'actionneur de commande. Enfin, pour le cas de la régulation, la Fig. 6 montre les performances dynamiques de l'erreur de régulation nommée E. Lorsque le contrôle se produit à \(t = 100\) unités de temps, l'erreur de régulation est nulle lorsque le contrôleur proposé est allumé, ce qui est conforme à tous les résultats ci-dessus. Pour la loi de commande intégrale, on observe le comportement oscillatoire attendu, ce qui montre que la consigne requise n'est pas atteinte.

Erreur de régulation.

Maintenant, le contrôleur proposé est également capable de forcer la variable d'état contrôlée à suivre une trajectoire sinusoïdale spécifique, comme décrit précédemment, en changeant l'objectif de contrôle au cas de la trajectoire de suivi. Un ensemble similaire de simulations numériques a été réalisé pour montrer les performances du contrôleur proposé et du contrôleur intégral. La figure 7 montre le comportement dynamique en boucle ouverte et en boucle fermée de la variable d'état contrôlée \(x_3\), et les contrôleurs sont activés à \(t = 100\) unités de temps. Les contrôleurs proposés conduisent à la trajectoire dynamique et presque instantanément à la trajectoire sinusoïdale requise sans dépassements, et au temps de réglage, comme observé la loi de commande intégrale provoque des dépassements importants et le contrôleur n'est pas en mesure d'atteindre la trajectoire requise.

Trajectoire de suivi.

Les figures 8 et 9 montrent le comportement dynamique des variables d'état non contrôlées, \(x_1\) et \(x_2\), dans le cas du suivi de trajectoire. Le comportement sinusoïdal de la variable d'état contrôlée \(x_3\) conduit à la suppression des oscillations complexes de l'état non contrôlé, où elles atteignent plus rapidement un état stationnaire.

Comportement de la variable non contrôlée \(x_1\).

Comportement de la variable non contrôlée \(x_2\).

Comme dans le cas de la régulation, un portrait de phase du cas de la trajectoire de suivi est illustré à la Fig. 10. Comme dans le cas ci-dessus, l'orbite large, qui est liée au comportement oscillatoire correspondant, est liée à l'action du contrôleur intégral. Ceci est différent de l'orbite étroite forcée par l'action de la loi de commande proposée, qui force la trajectoire \(x_3\) à atteindre la trajectoire sinusoïdale de référence.

La figure 11 est liée à la performance de l'effort de contrôle des deux contrôleurs. Comme on peut l'observer, la commande intégrale subit à nouveau une saturation inférieure et supérieure, rendant le contrôleur incapable de forcer le système à atteindre la trajectoire de référence et entraînant de fortes oscillations dans l'effort de commande, ce qui est, comme mentionné, indésirable. Cependant, le contrôleur proposé a un effet anti-windup, empêchant les phénomènes de saturation, ce qui permet au contrôleur de bien forcer l'objectif en boucle fermée requis. Notez que le contrôleur proposé a une oscillation douce, qui est nécessaire pour maintenir la trajectoire de suivi souhaitée. Enfin, la figure 12 montre les performances de l'erreur de poursuite. Ici, il est conclu que le contrôleur proposé atteint son objectif de contrôle de manière adéquate et sans retard, dépassements ou temps de réglage importants. De plus, la loi de commande intégrale n'atteint pas la trajectoire souhaitée, présentant des performances indésirables, avec de fortes oscillations.

Portrait de phase de la trajectoire de poursuite.

Signaux de contrôle sous la trajectoire de suivi.

Erreur de trajectoire de suivi.

Ce travail présente une conception alternative pour une classe de contrôleurs intégraux à gain adaptatif. Le gain adaptatif est une fonction des valeurs absolues de l'erreur de contrôle, où l'objectif principal est de désactiver l'action de contrôle lorsque le contrôleur est saturé, empêchant ainsi les phénomènes de liquidation nommés. La méthodologie proposée est appliquée avec succès à un oscillateur chaotique de type Rikitake à la fois à des fins de régulation et de suivi de trajectoire, de sorte que la conception de contrôle proposée peut empêcher les phénomènes de liquidation dans le cas de saturation de contrôle. Des expériences numériques montrent les performances de la méthodologie considérée, et le contrôleur proposé est comparé à un contrôleur intégral équivalent avec un gain de contrôle fixe.

Les ensembles de données utilisés et/ou analysés au cours de l'étude actuelle sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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Ce travail a été soutenu par le Secretaría de Investigación y Postgrado de l'Instituto Politécnico Nacional (SIP-IPN) dans le cadre de la subvention de recherche SIP20221338.

Département de biotechnologie et de bioingénierie, CINVESTAV, Mexico, 07360, Mexique

Ricardo Aguilar-Lopez

UPIITA, Département des technologies avancées, Instituto Politecnico Nacional, Mexico, 07340, Mexique

Juan L. Mata-Machuca

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RAL - a conceptualisé l'étude et mené les expériences numériques, et JLMM - a mené la conception, effectué l'analyse et organisé le financement. Tous les auteurs ont examiné le manuscrit.

Correspondance à Juan L. Mata-Machuca.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Aguilar-López, R., Mata-Machuca, JL Stabilisation d'un oscillateur chaotique via une classe de contrôleurs intégraux sous saturation d'entrée. Sci Rep 13, 5927 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-33201-3

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Reçu : 20 juillet 2022

Accepté : 08 avril 2023

Publié: 12 avril 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-33201-3

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